Questão 6:
Seja a matriz
C=[cccc 1 & 2 & 3 & 4 0 & 5 & 6 & 7 0 & 0 & 8 & 9 0 & 0 & 0 & 10 ]
(a) Determine det(C).
(b) Se trocarmos a segunda e a terceira linha de C, o que acontece com seu determinante? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C= 1 & 2 & 3 & 4 0 & 5 & 6 & 7 0 & 0 & 8 & 9 0 & 0 & 0 & 10
e pede (a) o determinante de C e (b) o que ocorre com o determinante se trocarmos a segunda e a terceira linha. Vamos usar que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal e que cada troca de duas linhas multiplica o determinante por -1.

Passo 2

Como C é triangular superior, vale a propriedade
det(C)=1cdot5cdot8cdot10
Logo,
det(C)=400

Passo 3

Se trocarmos a segunda e a terceira linha de C, aplicamos a regra de que cada troca de duas linhas multiplica o determinante por -1. Portanto o novo determinante é
-det(C)=-400

Resposta

(a) det(C)=400
(b) O determinante muda de sinal, passando a valer -400, pois cada troca de duas linhas multiplica o determinante por -1.

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