Obtenha a equação geral e a equação reduzida da hipérbole cujos focos são (3,-3),(3,7) e o valor de a é 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! A gente tem dois pontos que são os focos da hipérbole: (3,-3) e (3,7). Também sabemos que o valor de a é 3. A matéria que vamos usar aqui é a de geometria analítica, especificamente sobre as equações das hipérboles. Vamos precisar calcular o centro da hipérbole, a distância entre os focos, e usar algumas fórmulas para achar os parâmetros que nos levam à equação geral e reduzida da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Os focos são (3,-3) e (3,7). Para achar o ponto médio, usamos a fórmula:
Centro (h, k) = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores:
h = 3 + 32 = 3 k = -3 + 72 = 2
Então, o centro da hipérbole é (3, 2).

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os focos para achar o valor de c. A distância entre os focos é 2c. Como os focos estão em (3,-3) e (3,7), a distância vertical entre eles é:
Distância = 7 - (-3) = 10 â
Então, 2c = 10, o que significa que c = 5.

Passo 4

Sabemos que para uma hipérbole vertical, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Como já temos c = 5 e a = 3, vamos substituir:
5^2 = 3^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 b = 4

Passo 5

Com todos os valores em mãos, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. Para uma hipérbole vertical com centro em (h, k), a equação é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Substituindo h = 3, k = 2, a = 3 e b = 4:
(y - 2)^23^2 - (x - 3)^24^2 = 1 (y - 2)^29 - (x - 3)^216 = 1

Passo 6

Agora, vamos expandir essa equação para obter a equação geral da hipérbole. Vamos multiplicar todos os termos por 144 (que é o mínimo múltiplo comum de 9 e 16) para eliminar os denominadores:
16(y - 2)^2 - 9(x - 3)^2 = 144
Expandindo os termos:
16(y^2 - 4y + 4) - 9(x^2 - 6x + 9) = 144 16y^2 - 64y + 64 - 9x^2 + 54x - 81 = 144 -9x^2 + 16y^2 + 54x - 64y - 17 = 144
Por último, colocando tudo do lado esquerdo:
-9x^2 + 16y^2 + 54x - 64y - 161 = 0

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
(y - 2)^29 - (x - 3)^216 = 1
E a equação geral da hipérbole é:
-9x^2 + 16y^2 + 54x - 64y - 161 = 0

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