Obtenha a equação geral e a equação reduzida da hipérbole cujos focos são
e o valor de
é 3 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! A gente tem dois pontos que são os focos da hipérbole:
e
. Também sabemos que o valor de
é 3. A matéria que vamos usar aqui é a de geometria analítica, especificamente sobre as equações das hipérboles. Vamos precisar calcular o centro da hipérbole, a distância entre os focos, e usar algumas fórmulas para achar os parâmetros que nos levam à equação geral e reduzida da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Os focos são
e
. Para achar o ponto médio, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os focos para achar o valor de
. A distância entre os focos é
. Como os focos estão em
e
, a distância vertical entre eles é:
Então,
, o que significa que
.
Passo 4
Sabemos que para uma hipérbole vertical, a relação entre
,
e
é:
Como já temos
e
, vamos substituir:
Passo 5
Com todos os valores em mãos, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole. Para uma hipérbole vertical com centro em
, a equação é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Agora, vamos expandir essa equação para obter a equação geral da hipérbole. Vamos multiplicar todos os termos por 144 (que é o mínimo múltiplo comum de 9 e 16) para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Por último, colocando tudo do lado esquerdo:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
E a equação geral da hipérbole é: