Problema 9 Determine Lambda^n, sendo A=(ll-3 & 4 -1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar Lambda^n para a matriz A = -3 & 4 -1 & 2 . Estamos lidando com matrizes e vamos precisar entender de autovalores e diagonalização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Os autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação característica: det(A - lambda I) = 0. Aqui, I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
det( -3 & 4 -1 & 2 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det -3 - lambda & 4 -1 & 2 - lambda = 0

Passo 4

Calculando o determinante:
(-3 - lambda)(2 - lambda) - (4)(-1) = 0
(-3)(2 - lambda) - lambda(2 - lambda) + 4 = 0
-6 + 3lambda - 2lambda + lambda^2 + 4 = 0
lambda^2 + lambda - 2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 + lambda - 2 = 0:
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = -2

Passo 6

Agora que temos os autovalores, podemos construir a matriz diagonal Lambda:
Lambda = 1 & 0 0 & -2

Passo 7

Para encontrar Lambda^n, simplesmente elevamos cada elemento da diagonal à potência n:
Lambda^n = 1^n & 0 0 & (-2)^n

Resposta

Lambda^n = 1^n & 0 0 & (-2)^n

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