(Questão 4)[3,00]
Ache os planos tangentes à superfície esférica que contém a reta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação x^2 + y^2 + z^2 = 1 . Queremos encontrar os planos que são tangentes a essa esfera e que contêm a reta r definida pelas equações:
x + y + z = 0 x - y - z - 2 = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação de um plano tangente a uma esfera e as propriedades de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta [r). Para isso, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma parametrização da reta.
Somando as duas equações:
Com (x = 1], substituímos na primeira equação:
Podemos parametrizar a reta com parâmetro escolhendo . Então:
Portanto, a parametrização da reta é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os planos tangentes à esfera [x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1) que contêm a reta .
A equação geral de um plano no espaço é:
Para que esse plano seja tangente à esfera, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio da esfera. O centro da nossa esfera é o ponto e o raio é .
A distância do ponto ao plano é dada por:
Portanto:
Além disso, como o plano contém a reta , todas as coordenadas da parametrização da reta devem satisfazer a equação do plano. Substituindo , e na equação do plano:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:
Da primeira equação, temos (B = C]. Substituindo na segunda equação:
Então, temos as relações:
Passo 4
Vamos utilizar a condição de tangência que encontramos anteriormente: |D| = raizA^2 + B^2 + C^2 .
Sabemos que B = C e A + D = C . Vamos expressar D em termos de A e C :
D = C - A
Substituindo na condição de tangência:
|C - A| = raizA^2 + C^2 + C^2 = raizA^2 + 2C^2
Removendo o valor absoluto (considerando que C - A pode ser positivo ou negativo, mas como estamos equacionando, podemos considerar o quadrado para eliminar o valor absoluto):
(C - A)^2 = A^2 + 2C^2
Expandindo o lado esquerdo:
C^2 - 2AC + A^2 = A^2 + 2C^2
Subtraindo A^2 + 2C^2 de ambos os lados:
C^2 - 2AC = 0 Rightarrow C(C - 2A) = 0
Então, temos duas possibilidades:
C = 0
C - 2A = 0 Rightarrow C = 2A
Passo 5
Vamos analisar as duas possibilidades:
Caso 1:
Se , então de , temos .
E de , temos .
Substituindo na condição de tangência:
Isso é sempre verdadeiro, então não há restrições adicionais.
Portanto, o plano tem a forma:
Como (caso contrário, não teríamos um plano válido), podemos dividir por :
Então, um dos planos tangentes é .
Caso 2:
Se , então de , temos .
E de , temos .
Substituindo na condição de tangência:
Então:
A única solução para isso é . Mas se , então , o que nos leva de volta ao Caso 1. Portanto, não há planos adicionais nesse caso.
Resposta
O único plano tangente à esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 que contém a reta dada é: