Utilize a forma diagonal para encontrar A^n,(n=1,2,3, ldots) nos seguintes casos:
A=[ll-3 & 4 -1 & 2]

Passo 1

Temos
A = -3 & 4 [6pt] -1 & 2,
e queremos A^n usando diagonalização. Para isso vamos achar autovalores lambda1,lambda2, autovetores, montar P e D, e usar
A^n = P,D^n,P^-1 ]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambdaI) =-3-lambda & 4 [3pt] -1 & 2-lambda =(-3-lambda)(2-lambda)-4(-1) =lambda^2+lambda-2
As raízes são
lambda = -1pmraiz1+82 ;Longrightarrow; lambda1=1, ;lambda2=-2 ]

Passo 3

Para , resolvemos :
Podemos escolher .
Para , resolvemos :
então .

Passo 4

Formamos
P=l[v1;v2r] =1 & 4[3pt]1 & 1, D=1&00&-2
O inverso de P é
detP=1cdot1-4cdot1=-3, P^-1=1-3 1 & -4[3pt]-1 & 1 =-tfrac13 & tfrac43[3pt]tfrac13 & -tfrac13 ]

Passo 5

Como D^n=1^n&00&(-2)^n, temos
A^n =P,D^n,P^-1 =1 & 41 & 1 1&00&(-2)^n -tfrac13 & tfrac43[3pt]tfrac13 & -tfrac13
Fazendo as multiplicações de forma direta, chega-se a
A^n =13 -1 + 4(-2)^n & 4 - 4(-2)^n[6pt] -1 + (-2)^n & 4 - (-2)^n ]

Resposta

boxed A^n =13 -1 + 4(-2)^n & 4 - 4(-2)^n[6pt] -1 + (-2)^n & 4 - (-2)^n , n=1,2,3,dots ]

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