Seja r reta determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,-2,3).
(a) Obtenha equações de r nas formas vetoriais, paramétricas e simétricas.
(b) Verifique se o ponto P=(-9,10,-9) pertence a r.
(c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B.

Passo 1

O enunciado define a reta r em R^3 pelos pontos
A=(1,0,1), B=(3,-2,3),
e pede:
– (a) as equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica;
– (b) verificar se P=(-9,10,-9) pertence a r;
– (c) obter dois vetores diretores de r e dois pontos em r distintos de A e B.

Passo 2

O vetor diretor de r é
AB=B-A=(3,-2,3)-(1,0,1)=(2,-2,2)
Logo,
(forma vetorial) vec r = (1,0,1) + t,(2,-2,2),;tin R
As equações paramétricas são
x=1+2t, y=-2t, z=1+2t
E a forma simétrica fica
x-12=y-0-2=z-12

Passo 3

Para ver se P=(-9,10,-9) está em r, calcule
AP=P-A=(-9,10,-9)-(1,0,1)=(-10,10,-10)
Como
(-10,10,-10)=-5,(2,-2,2),
existe t=-5 tal que A+t(2,-2,2)=P. Portanto P pertence a r.

Passo 4

Do vetor diretor (2,-2,2) podemos extrair outros paralelos, por exemplo
vec v1=(1,-1,1), vec v2=(-2,2,-2)
Para achar dois pontos distintos de A e B em r escolhemos parâmetros t=tfrac12 e t=-tfrac12. Assim,
C = A + tfrac12(2,-2,2) = (2,-1,2),
D = A - tfrac12(2,-2,2) = (0,1,0)

Resposta

(a) Vetorial: vec r=(1,0,1)+t(2,-2,2).
Paramétricas: x=1+2t, y=-2t, z=1+2t.
Simétrica: x-12=y-2=z-12
(b) Sim, Pin r com t=-5.
(c) Vetores diretores: (2,-2,2) e (1,-1,1).
Pontos em r: C=(2,-1,2) e D=(0,1,0).

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