Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos, cujo quadrado da distância ao eixo
é sempre o triplo da sua distância ao plano
. Identifique a quádrica descrita por esse lugar geométrico.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
em que o quadrado da distância ao eixo
é sempre o triplo da distância ao plano
. O conteúdo aqui envolve cálculo de distâncias no espaço e identificação de quádricas.
Passo 2
A distância de um ponto
ao eixo
é
logo o quadrado dessa distância é
A distância do mesmo ponto ao plano
(ou seja, ao plano
) é
Passo 3
Impondo que o quadrado da distância ao eixo
vale três vezes a distância ao plano
, escrevemos
Passo 4
Para identificar melhor a superfície, separamos os dois casos de sinal de
:
- Se
, então e
- Se
, então e
Cada uma dessas equações define um paraboloide de revolução com vértice na origem, um abrindo para
e outro para
.
Passo 5
Como para cada valor fixo de
o traço no plano perpendicular ao eixo
é o círculo
, trata–se de um paraboloide circular (paraboloide elíptico de revolução). A união das duas “metades” simétricas em
dá o lugar geométrico completo.
Resposta
Equação do lugar geométrico:
Em particular, para
:
, e para
:
.
Quadriculítica descrita: paraboloide circular de revolução (duas “metades” simétricas).