Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos, cujo quadrado da distância ao eixo x é sempre o triplo da sua distância ao plano y z. Identifique a quádrica descrita por esse lugar geométrico.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) em que o quadrado da distância ao eixo x é sempre o triplo da distância ao plano yz. O conteúdo aqui envolve cálculo de distâncias no espaço e identificação de quádricas.

Passo 2

A distância de um ponto (x,y,z) ao eixo x é
d_{x\mbox{-eixo}}=\sqrt{y^{2}+z^{2}},
logo o quadrado dessa distância é
(d_{x\mbox{-eixo}})^{2}=y^{2}+z^{2}.
A distância do mesmo ponto ao plano yz (ou seja, ao plano x=0) é
d_{yz}=\lvert x\rvert.

Passo 3

Impondo que o quadrado da distância ao eixo x vale três vezes a distância ao plano yz, escrevemos
y^{2}+z^{2}=3\,\lvert x\rvert.

Passo 4

Para identificar melhor a superfície, separamos os dois casos de sinal de x:
  • Se x\ge0, então \lvert x\rvert = x e
y^{2} + z^{2} = 3x, \quad x \ge 0.
  • Se x \le 0, então \lvert x \rvert = -x e
y^{2} + z^{2} = -3x, \quad x \le 0.
Cada uma dessas equações define um paraboloide de revolução com vértice na origem, um abrindo para +\!x e outro para -\!x.

Passo 5

Como para cada valor fixo de x o traço no plano perpendicular ao eixo x é o círculo y^{2}+z^{2}=\text{constante}, trata–se de um paraboloide circular (paraboloide elíptico de revolução). A união das duas “metades” simétricas em x=0 dá o lugar geométrico completo.

Resposta

Equação do lugar geométrico:
y^{2} + z^{2} = 3\,\lvert x \rvert.
Em particular, para x \ge 0: y^{2} + z^{2} = 3x, e para x \le 0: y^{2} + z^{2} = -3x.
Quadriculítica descrita: paraboloide circular de revolução (duas “metades” simétricas).

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