Por uma translação conveniente de eixos, determine a natureza da quádrica representada pela equação
3 x^{2}+4 y^{2}-2 z^{2}+6 x-16 y+8 z=13
Quais foram as translações utilizadas?

Passo 1

O enunciado dá a quádruica
3x^{2}+4y^{2}-2z^{2}+6x-16y+8z=13
e pede que, por uma translação conveniente de eixos, a gente tire os termos lineares e identifique o tipo de superfície. O conteúdo aqui é completar quadrados em x,y,z e depois reconhecer o sinal das variáveis ao obter a forma canônica.

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado em cada variável:
Para x:
3x^{2}+6x = 3\bigl(x^{2}+2x\bigr) =3\bigl[(x+1)^{2}-1\bigr] =3(x+1)^{2}-3.
Para y:
4y^{2}-16y = 4\bigl(y^{2}-4y\bigr) =4\bigl[(y-2)^{2}-4\bigr] =4(y-2)^{2}-16.
Para z:
-2z^{2}+8z = -2\bigl(z^{2}-4z\bigr) =-2\bigl[(z-2)^{2}-4\bigr] =-2(z-2)^{2}+8.

Passo 3

Substituindo na equação original:
3(x+1)^{2}-3 \;+\;4(y-2)^{2}-16 \;-\;2(z-2)^{2}+8 = 13.
Reunindo constantes:
3(x+1)^{2}+4(y-2)^{2}-2(z-2)^{2} -11 = 13 \quad\Longrightarrow\quad 3(x+1)^{2}+4(y-2)^{2}-2(z-2)^{2} =24.
Dividindo por 24:
\frac{(x+1)^{2}}{8} \;+\;\frac{(y-2)^{2}}{6} \;-\;\frac{(z-2)^{2}}{12} \;=\;1.
Vemos que há dois sinais positivos e um negativo igual a 1: isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Para chegar a essa forma canônica, usamos a translação de eixos
X = x + 1,\quad Y = y - 2,\quad Z = z - 2,
de modo que a superfície em (X,Y,Z) fica
\frac{X^{2}}{8}+\frac{Y^{2}}{6}-\frac{Z^{2}}{12}=1.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha.
As translações utilizadas foram
X = x + 1,\quad Y = y - 2,\quad Z = z - 2.

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