Por uma translação conveniente de eixos, determine a natureza da quádrica representada pela equação
Quais foram as translações utilizadas?
Passo 1
O enunciado dá a quádruica
e pede que, por uma translação conveniente de eixos, a gente tire os termos lineares e identifique o tipo de superfície. O conteúdo aqui é completar quadrados em
e depois reconhecer o sinal das variáveis ao obter a forma canônica.
Passo 2
Agrupamos e completamos o quadrado em cada variável:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Substituindo na equação original:
Reunindo constantes:
Dividindo por
:
Vemos que há dois sinais positivos e um negativo igual a
: isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha.
Passo 4
Para chegar a essa forma canônica, usamos a translação de eixos
de modo que a superfície em
fica
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha.
As translações utilizadas foram
As translações utilizadas foram