Obtenha as equações das hipérboles, dados os focos e a: (3,4),(-1,-2), a=3

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são
F1=(3,4), F2=(-1,-2)
e em que o semi-eixo real vale a=3.
Conteúdo: definição de hipérbole como o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a diferença das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a.

Passo 2

Calcular o centro C da hipérbole (ponto médio de F1F2) e a distância c do centro a cada foco.
C=l(3+(-1)2,,4+(-2)2r)=(1,1),
c=dist(C,F1)=raiz(3-1)^2+(4-1)^2=raiz4+9=raiz13
Em uma hipérbole temos c^2=a^2+b^2, logo
b^2=c^2-a^2=13-9=4, b=2

Passo 3

Escrever a condição de hipérbole em forma de distâncias. Seja
d1=raiz(x-3)^2+(y-4)^2, d2=raiz(x+1)^2+(y+2)^2
A hipérbole satisfaz
l|d1 - d2r|=2a=6

Passo 4

Elevar ao quadrado para eliminar a raiz uma vez:
(d1-d2)^2=36 ;Longrightarrow; d1^2+d2^2-2,d1d2=36
Como
d1^2+d2^2=(x-3)^2+(y-4)^2+(x+1)^2+(y+2)^2 =2x^2+2y^2-4x-4y+30,
temos
2,d1d2 =d1^2+d2^2-36 =2x^2+2y^2-4x-4y-6,
ou
d1d2 =x^2+y^2-2x-2y-3

Passo 5

Elevar ao quadrado de novo para eliminar todas as raízes:
l[d1^2,d2^2r] =l(x^2+y^2-2x-2y-3r)^2,
ou seja,
l[(x-3)^2+(y-4)^2r], l[(x+1)^2+(y+2)^2r] =l(x^2+y^2-2x-2y-3r)^2
Fazendo a expansão e simplificando surgem termos em x^4, x^3y etc., mas tudo se cancela menos os termos quadráticos e lineares.

Passo 6

Após simplificar completamente obtemos a forma geral em x,y:
5x^2 ;-;12,x,y ;+;2x;+;12y;+;29;=;0

Resposta

A equação da hipérbole é
5x^2 -12xy +2x +12y +29 = 0

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