Responda:
As funções f e g de \mathrm{A}=\{\mathrm{x} \in \mathbb{R} \mid-1 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 0 ou \mathrm{x}>1\} em \mathbb{R}, definidas por:
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-x}} e g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-x}} são iguais? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções f e g são iguais. Foi dado:
A=\{\mathrm{x}\in\mathbb{R}\mid -1\leqslant \mathrm{x}\leqslant 0\\ \text{ou}\\ \mathrm{x}>1\},
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-x}}\quad\text{e}\quad g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-x}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar mais adiante: as expressões envolvem radiciação e divisão, por isso há restrições sobre os valores de x (radicandos devem ser não-negativos e denominadores não podem ser zero). A pergunta é: as duas funções têm o mesmo domínio (onde estão definidas) e dão o mesmo valor para todo x desse domínio?

Passo 2

Determinar o domínio de g. Para g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-x}} ser bem definida precisamos de duas coisas simultâneas:
x+1 \ge 0\quad\text{e}\quad x^{2}-x>0.
A primeira dá x\ge -1. Para a segunda, fatoramos:
x^{2}-x = x(x-1).
A desigualdade x(x-1)>0 é verdadeira quando x<0 ou x>1. Fazendo a intersecção com x\ge -1 obtemos
-1\le x<0\quad\text{ou}\quad x>1.
Logo o domínio de g é
\mathrm{Dom}(g)=\bigl[-1,0\bigr)\cup(1,\infty).
Observe que x=0 e x=1 não pertencem ao domínio porque em ambos x^{2}-x=0 (denominador nulo).

Passo 3

Determinar o domínio de f. Para f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x^{2}-x}} ser real precisamos que o quociente dentro da raiz seja não-negativo e o denominador não seja zero:
\frac{x+1}{x^{2}-x}\ge 0\quad\text{e}\quad x^{2}-x\ne 0.
Novamente x^{2}-x=x(x-1), os pontos críticos para sinal são x=-1,0,1. Fazemos um estudo de sinais simples nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para x<-1: x+1<0 e x(x-1)>0 (porque para x<0 o produto é positivo), então a fração é negativa — não serve.
  • Em x=-1: x+1=0 e x(x-1)=2>0, a fração vale 0 — permitido.
  • Para -1<x<0: x+1>0 e x(x-1)>0, a fração é positiva — permitido.
  • Em x=0: denominador é 0 — proibido.
  • Para 0<x<1: x+1>0 e x(x-1)<0, a fração é negativa — proibido.
  • Em x=1: denominador é 0 — proibido.
  • Para x>1: x+1>0 e x(x-1)>0, a fração é positiva — permitido.
Juntando os trechos permitidos, o domínio de f é
\mathrm{Dom}(f)=\bigl[-1,0\bigr)\cup(1,\infty).

Passo 4

Comparação dos domínios: dos Passos 2 e 3 vimos que
\mathrm{Dom}(f)=\mathrm{Dom}(g)=\bigl[-1,0\bigr)\cup(1,\infty).
Observação importante: o enunciado deu A com “ \le 0”; no entanto, em x=0 as expressões são indefinidas (denominador nulo), então o conjunto efetivo de definição das funções é \bigl[-1,0\bigr)\cup(1,\infty). Vou trabalhar com esse domínio comum.

Passo 5

Agora comparar os valores ponto a ponto. Para qualquer x em \mathrm{Dom}(f)=\mathrm{Dom}(g) temos x+1\ge 0 e x^{2}-x>0. Nessas condições vale a identidade (propriedade das raízes quadradas sobre números não-negativos):
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad\text{sempre que }a\ge 0\text{ e }b>0.
Explicando por que isso é verdade: seja s=\sqrt{\dfrac{a}{b}}. Então s\ge 0 e s^{2}=\dfrac{a}{b}. Multiplicando por b>0 obtemos (s\sqrt{b})^{2}=a. Como \sqrt{a} é a raiz não-negativa de a, segue s\sqrt{b}=\sqrt{a}, e portanto s=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Aplicando essa propriedade com a=x+1 e b=x^{2}-x, para todo x do domínio comum temos
f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-x}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^{2}-x}}=g(x).
Caso especial x=-1: x+1=0 e \sqrt{0}=0, então f(-1)=0 e g(-1)=0 — consistente com a igualdade.

Passo 6

Conclusão e comentário final: as duas funções têm o mesmo domínio (efetivo) e coincidem ponto a ponto nesse domínio, porque dentro do domínio as hipóteses que justificam \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} estão satisfeitas. Então são a mesma função.

Resposta

Sim. As funções são iguais em \bigl[-1,0\bigr)\cup(1,\infty): para todo x nesse conjunto vale f(x)=g(x).

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