Responda:
As funções
e
de
ou
em
, definidas por:
e
são iguais? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se as funções
e
são iguais. Foi dado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar mais adiante: as expressões envolvem radiciação e divisão, por isso há restrições sobre os valores de
(radicandos devem ser não-negativos e denominadores não podem ser zero). A pergunta é: as duas funções têm o mesmo domínio (onde estão definidas) e dão o mesmo valor para todo
desse domínio?
Passo 2
Determinar o domínio de
. Para
ser bem definida precisamos de duas coisas simultâneas:
A primeira dá
. Para a segunda, fatoramos:
A desigualdade
é verdadeira quando
ou
. Fazendo a intersecção com
obtemos
Logo o domínio de
é
Observe que
e
não pertencem ao domínio porque em ambos
(denominador nulo).
Passo 3
Determinar o domínio de
. Para
ser real precisamos que o quociente dentro da raiz seja não-negativo e o denominador não seja zero:
Novamente
, os pontos críticos para sinal são
. Fazemos um estudo de sinais simples nos intervalos determinados por esses pontos:
- Para
: e (porque para o produto é positivo), então a fração é negativa — não serve. - Em
: e , a fração vale — permitido. - Para
: e , a fração é positiva — permitido. - Em
: denominador é — proibido. - Para
: e , a fração é negativa — proibido. - Em
: denominador é — proibido. - Para
: e , a fração é positiva — permitido.
Juntando os trechos permitidos, o domínio de
é
Passo 4
Comparação dos domínios: dos Passos 2 e 3 vimos que
Observação importante: o enunciado deu
com “
”; no entanto, em
as expressões são indefinidas (denominador nulo), então o conjunto efetivo de definição das funções é
. Vou trabalhar com esse domínio comum.
Passo 5
Agora comparar os valores ponto a ponto. Para qualquer
em
temos
e
. Nessas condições vale a identidade (propriedade das raízes quadradas sobre números não-negativos):
Explicando por que isso é verdade: seja
. Então
e
. Multiplicando por
obtemos
. Como
é a raiz não-negativa de
, segue
, e portanto
.
Aplicando essa propriedade com
e
, para todo
do domínio comum temos
Caso especial
:
e
, então
e
— consistente com a igualdade.
Passo 6
Conclusão e comentário final: as duas funções têm o mesmo domínio (efetivo) e coincidem ponto a ponto nesse domínio, porque dentro do domínio as hipóteses que justificam
estão satisfeitas. Então são a mesma função.
Resposta
Sim. As funções são iguais em
: para todo
nesse conjunto vale
.