Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas.
f(x)=2 x+3 \quad x_{0}=3

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x) = 2x + 3
no ponto de abscissa x_{0}=3. Para isso precisamos do coeficiente angular da reta tangente (que é a derivada de f em x_{0}) e das coordenadas do ponto de tangência, que vêm de f(x_{0}).

Passo 2

Como f(x) é linear, a derivada é constante. Calculamos
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x+3) = 2.
Logo o coeficiente angular da tangente em x_{0}=3 é m = f'(3) = 2.

Passo 3

Agora encontramos o ponto de tangência substituindo x_{0}=3 em f(x):
f(3) = 2\cdot 3 + 3 = 9.
O ponto de tangência é (3,9).

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Substituindo x_0=3, y_0=9 e m=2, temos
y - 9 = 2\,(x - 3)
e, ao simplificar,
y = 2x + 3.

Resposta

y = 2x + 3

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