Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f nos pontos de abscissas indicadas.
f(x)=\ln x \quad x_{0}=e

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\ln x no ponto cuja abscissa é x_{0}=e. O conteúdo envolvido é derivada de funções e equação de reta tangente. Para resolver, vamos:
  1. Calcular f'(x), a derivada de f.
  2. Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}).
  3. Usar a fórmula da reta tangente em ponto:
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\bigl(x - x_{0}\bigr).

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=\ln x. A regra conhecida é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) = \frac{1}{x}.
Portanto,
f'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Avaliamo-s agora em x_{0}=e:
f(e)=\ln(e)=1, \quad f'(e)=\frac{1}{e}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da reta tangente em ponto:
y - f(e) = f'(e)\bigl(x - e\bigr).
Substituindo f(e)=1 e f'(e)=\frac{1}{e}, fica
y - 1 = \frac{1}{e}\bigl(x - e\bigr).
Para obter a forma explícita de y, desenvolvemos:
y - 1 = \frac{1}{e}\,x - \frac{1}{e}\,e \quad\Longrightarrow\quad y - 1 = \frac{x}{e} - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{e}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{x}{e}.

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