Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s, paralela a h : r: X=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)+\lambda(5,4,3) \quad \cdot s: \frac{x+1}{2}=y=-z \quad h: X=(0,0,0)+\lambda(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede uma reta L que seja paralela à reta
h : X = (0,0,0) + t\,(1,0,1)
e que também intersecte simultaneamente as retas
r : X = \Bigl(\tfrac13,\tfrac23,0\Bigr) + \lambda\,(5,4,3) \quad\text{e}\quad s : \frac{x+1}{2}=y=-z.
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
O que vamos usar:
  1. Parametrizar s.
  2. Assumir ponto geral P em r e construir L com direção (1,0,1).
  3. Exigir que L atinja s, resolvendo parâmetros.

Passo 2

Parametrizamos s por um parâmetro t. Da igualdade
\;(x+1)/2 = y = -z = t
segue
x = 2t - 1,\quad y = t,\quad z = -t
Logo
s: X = (-1,0,0) + t\,(2,1,-1).

Passo 3

Seja P um ponto genérico em r obtido para \lambda:
P(\lambda) = \Bigl(\tfrac13 + 5\lambda,\;\tfrac23 + 4\lambda,\;3\lambda\Bigr).
Como L é paralela a h, sua direção é v=(1,0,1).
Logo a reta buscada é
L: X = P(\lambda) + \mu\,(1,0,1).

Passo 4

Impondo que L intersecte s, existe \mu e t tais que
P(\lambda) + \mu\,(1,0,1) = (-1,0,0) + t\,(2,1,-1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
  1. x\!: \;\tfrac13+5\lambda+\mu = -1+2t
  2. y\!: \;\tfrac23+4\lambda = \;t
  3. z\!: \;3\lambda+\mu = -t
Da (2) e (3) temos t = \tfrac23+4\lambda e 3\lambda+\mu = -t.
Substituindo t em 3\lambda+\mu=-t
3\lambda+\mu = -\Bigl(\tfrac23+4\lambda\Bigr) \;\Longrightarrow\;\mu = -\tfrac23 -7\lambda.
Agora igualamos ao x:
\tfrac13+5\lambda +\bigl(-\tfrac23-7\lambda\bigr) = -1 + 2\Bigl(\tfrac23+4\lambda\Bigr).
O lado esquerdo é \tfrac13-\tfrac23 -2\lambda = -\tfrac13 -2\lambda.
O lado direito é -1 + \tfrac{4}{3}+8\lambda = -\tfrac{3}{3}+\tfrac{4}{3}+8\lambda = \tfrac{1}{3}+8\lambda.
Logo
-\tfrac{1}{3} -2\lambda = \tfrac{1}{3}+8\lambda \;\Longrightarrow\; -2\lambda -8\lambda = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\; -10\lambda = \tfrac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \lambda = -\tfrac{1}{15}.
Então
\mu = -\tfrac23 -7\bigl(-\tfrac{1}{15}\bigr) = -\tfrac23 + \tfrac{7}{15} = -\tfrac{10}{15} + \tfrac{7}{15} = -\tfrac{3}{15} = -\tfrac{1}{5}.

Passo 5

O ponto de interseção de L com r (quando \lambda=-\tfrac{1}{15}) é
P = \Bigl( \tfrac13+5(-\tfrac{1}{15}),\; \tfrac23+4(-\tfrac{1}{15}),\; 3(-\tfrac{1}{15})\Bigr) = \bigl(0,\;\tfrac{2}{5},\;-\tfrac{1}{5}\bigr).
Como a direção de L é (1,0,1), a equação vetorial final é
\boxed{\,L: X = \bigl(0,\tfrac25,-\tfrac15\bigr) + \mu\,(1,0,1)\,.}

Resposta

X = \bigl(0,\tfrac25,-\tfrac15\bigr) + \mu\,(1,0,1)

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