Questão 01. Dada a função

f(x)=\frac{\ln \left(5 x-4 x^{2}\right)}{3 x+1}
o valor de f^{\prime}(1) é igual a
(A) -2
(B) -7 / 4
(C) -5 / 4
(D) -1
(E) -3 / 4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\ln\bigl(5x-4x^{2}\bigr)}{3x+1}
e pede f'(1). Para isso, vamos usar a regra do quociente e a derivada de logaritmo.

Passo 2

Definimos
u(x)=\ln\bigl(5x-4x^{2}\bigr) \quad\text{e}\quad v(x)=3x+1.
Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
u'(x)=\frac{5-8x}{5x-4x^{2}}, \quad v'(x)=3.
Em x=1:
u'(1)=\frac{5-8}{5-4}=-3, \quad u(1)=\ln(1)=0, \quad v(1)=3\cdot1+1=4, \quad v'(1)=3.

Passo 4

Substituindo em f'(x) no ponto x=1:
f'(1) =\frac{(-3)\cdot4-0\cdot3}{4^{2}} =-\frac{12}{16} =-\frac{3}{4}.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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