Obtenha a equação vetorial da reta r a partir de suas equações planares. (Resolver de dois métodos diferentes primeiro usando os vetores normais e depois resolvendo o sistema indeterminado com uma variável livre)
r:lx+y+z-1=0 x+y-z=0

Passo 1

O enunciado define a reta r como interseção de duas planas
x+y+z-1=0
e
x+y-z=0
O objetivo é obter uma equação vetorial da forma
r(t)= P0+t, d,
onde d é um vetor diretor e P0 é um ponto qualquer de r. Vamos usar dois métodos:
  1. Produto vetorial dos vetores normais.
  2. Resolução do sistema com uma variável livre.

Passo 2

Método 1 – vetores normais e produto vetorial.
Os vetores normais das planas são
n1=(1,1,1), n2=(1,1,-1)
O vetor diretor d será perpendicular a ambos, dado por
d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 = (-2,2,0)
Podemos simplificar para
d=(1,-1,0).
Para encontrar um ponto P0 em r, somamos as equações das planas:
(x+y+z-1)+(x+y-z)=0+0 ;Longrightarrow;2(x+y)=1 ;Longrightarrow;x+y=tfrac12
Então de x+y-z=0 vem z=x+y=tfrac12. Basta escolher, por exemplo, x=tfrac12, y=0, z=tfrac12. Logo
P0=l(tfrac12,,0,,tfrac12r)
Assim uma equação vetorial é
r(t) =l(tfrac12,0,tfrac12r)+t,(1,-1,0)

Passo 3

Método 2 – resolver o sistema com uma variável livre.
Tomamos x=t. Das planas
x+y-z=0 ;Longrightarrow; z=x+y=t+y,
x+y+z-1=0 ;Longrightarrow; t+y+(t+y)-1=0 ;Longrightarrow; 2y+2t=1 ;Longrightarrow; y=tfrac12 -t
Então
z=t+y=t+l(tfrac12 -tr)=tfrac12
Isso dá
(x,y,z) =(,t,;tfrac12-t,;tfrac12) =(,0,tfrac12,tfrac12)+t,(1,-1,0),
que é equivalente à equação do método 1.

Resposta

boxed r(t) =l(tfrac12,0,tfrac12r)+t,(1,-1,0)

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