Seja f: R R definida por: f(x)=x^2-1. Dê exemplo de um conjunto não vazio B subseteq R tal que
f^-1(B) contém apenas um ponto.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=x^2-1
e pede um conjunto não vazio BsubseteqR tal que
f^-1(B)=xinRmid f(x)in B
contenha exatamente um ponto. Vamos usar a análise das soluções da equação x^2-1=y para escolher B.

Passo 2

Para yinR a equação
x^2-1=y
é equivalente a
x^2=y+1
  • Se y+1>0, há duas soluções x=pmraizy+1.
  • Se y+1<0, não há solução real.
  • Se y+1=0, isto é y=-1, há exatamente uma solução x=0.

Passo 3

Para que f^-1(B) seja um único ponto, basta escolher B contendo o valor y=-1 e nenhum outro valor no contradomínio de f. O exemplo mais simples é
B=-1
De fato,
f^-1(-1)=xinRmid x^2-1=-1=0,
que é exatamente um ponto.

Resposta

Um exemplo é
B=-1,
pois f^-1(-1)=0, que contém apenas um ponto.

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