Seja f: R R definida por: f(x)=x^2-1. Dê exemplo de um conjunto não vazio B subseteq R tal que
f^-1(B)=varnothing.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um conjunto não vazio BsubseteqR tal que
f^-1(B)=xinRmid f(x)in B=varnothing
onde fcolonRtoR é dada por f(x)=x^2-1. Vamos usar o conceito de imagem da função e de pré-imagem (inverso de imagem) para construir um B que não intersecte a imagem de f.

Passo 2

Primeiro, determinamos a imagem de f. Como
f(x)=x^2-1
é uma parábola com vértice em x=0 e valor mínimo f(0)=-1, temos
Im(f)=[-1,infty)

Passo 3

Para que f^-1(B) seja vazio, basta escolher qualquer B não vazio contido no complemento de Im(f), ou seja, em (-infty,-1). Por exemplo,
B=-2
Como -2notin[-1,infty), não existe xinR tal que f(x)=-2. Logo f^-1(-2)=varnothing.

Resposta

Um exemplo é
B=-2,
pois f^-1(-2)=varnothing.

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