Obtenha as equações paramétricas da reta r tangente à curva de intersecção do parabolóide e o elipsóide no ponto (1,1,2).
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção dos dois sólidos definidos por (parabolóide) e (elipsóide) no ponto . Esse problema cai em geometria diferencial de superfícies: a reta tangente à interseção de duas superfícies de nível passa pelo ponto dado e tem direção ortogonal aos vetores normais das duas superfícies, ou seja, é dada pelo produto vetorial dos gradientes.
Passo 2
Definimos as funções de nível
cujo gradiente é normal a cada superfície. Vamos usar:
Passo 3
Avaliamos os gradientes no ponto :
Passo 4
O vetor direção da reta tangente é o produto vetorial
Calculando:
Podemos simplificar dividindo por 2 e obter v = (-6,7,2).
Passo 5
Com ponto (1,1,2) e direção (-6,7,2), as equações paramétricas da reta são obtidas por
(x,y,z) = (1,1,2) + t,(-6,7,2)
Assim, escrevendo cada coordenada:
Resposta
As equações paramétricas da reta são x = 1 - 6t, y = 1 + 7t e z = 2 + 2t.