Obtenha as equações paramétricas da reta r tangente à curva de intersecção do parabolóide z= x^2+y^2 e o elipsóide 3 x^2+2 y^2+z^2=9 no ponto (1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente à curva de interseção dos dois sólidos definidos por z = x^2 + y^2 (parabolóide) e 3x^2 + 2y^2 + z^2 = 9 (elipsóide) no ponto (1,1,2). Esse problema cai em geometria diferencial de superfícies: a reta tangente à interseção de duas superfícies de nível passa pelo ponto dado e tem direção ortogonal aos vetores normais das duas superfícies, ou seja, é dada pelo produto vetorial dos gradientes.

Passo 2

Definimos as funções de nível
F1(x,y,z) = z - x^2 - y^2,
F2(x,y,z) = 3x^2 + 2y^2 + z^2 - 9,
cujo gradiente é normal a cada superfície. Vamos usar:
nabla F1 = l(-2x, -2y, 1r),
nabla F2 = l(6x, 4y, 2zr)

Passo 3

Avaliamos os gradientes no ponto (1,1,2):
nabla F1(1,1,2) = (-2, -2, 1),
nabla F2(1,1,2) = (6, 4, 4)

Passo 4

O vetor direção v da reta tangente é o produto vetorial
v = nabla F1(1,1,2) times nabla F2(1,1,2)
Calculando:
v = det i & j & k -2 & -2 & 1 6 & 4 & 4 = (-12, 14, 4)
Podemos simplificar dividindo por 2 e obter v = (-6,7,2).

Passo 5

Com ponto (1,1,2) e direção (-6,7,2), as equações paramétricas da reta são obtidas por
(x,y,z) = (1,1,2) + t,(-6,7,2)
Assim, escrevendo cada coordenada:

Resposta

As equações paramétricas da reta são x = 1 - 6t, y = 1 + 7t e z = 2 + 2t.

Exercícios relacionados