Obtenha as equações de Transformação de Lorentz para a energia E e o momento p.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformações de Lorentz para a energia $ E $ e o momento $ p $. Esse assunto faz parte da física moderna, mais especificamente da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein. Para resolver isso, vamos precisar entender como energia e momento se comportam quando mudamos de um referencial para outro que está se movendo com uma certa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são energia e momento na relatividade. Diferente da física clássica, na relatividade especial, energia e momento são tratados de forma interligada. Eles formam o que chamamos de “quadrovectores”, que transformam de maneira específica quando mudamos de um referencial para outro que está em movimento relativo.

Passo 3

As Transformações de Lorentz são as equações que nos permitem passar de um referencial para outro que está se movendo a uma velocidade constante $ v $ relativa ao primeiro. Para energia e momento, precisamos ver como esses valores se transformam quando mudamos de um referencial para outro.

Passo 4

Vamos considerar dois referenciais: $ S $ e $ S’ $, onde $ S’ $ está se movendo com velocidade $ v $ na direção positiva do eixo $ x $ em relação a $ S $. As Transformações de Lorentz para espaço e tempo são:
S
onde $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v2}{c2}}} $ e $ c $ é a velocidade da luz.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essas transformações com a energia $ E $ e o momento $ p $. Na relatividade, a energia e o momento formam um quadrovetor energia-momento:
E
Assim como as coordenadas espaço-tempo, esse quadrovetor também sofre Transformações de Lorentz.

Passo 6

Aplicando as Transformações de Lorentz ao quadrovetor energia-momento, obtemos as equações para a energia $ E’ $ e o momento $ p’ $ no referencial $ S’ $:
E'
Essas equações mostram como a energia e o momento se transformam quando mudamos de um referencial para outro que está em movimento.

Resposta

As equações de Transformação de Lorentz para a energia $ E $ e o momento $ p $ são:
E
onde $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v2}{c2}}} $ e $ v $ é a velocidade relativa entre os referenciais.

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