(2.0 pontos) Uma esfera ferromagnética de raio a imersa no vácuo é magnetizada uniformimente com vetor de magnetização
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b. ( 0.5 ponto) Determine a densidade superficial de corrente de magnetização na superfície da esfera
b. ( 0.5 ponto) Determine a densidade superficial de corrente de magnetização na superfície da esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera ferromagnética de raio $ a $ que está imersa no vácuo e foi magnetizada de forma uniforme com o vetor de magnetização $ \vec{M} = M_0 \hat{a}_z $. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade superficial de corrente de magnetização na superfície dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender como a magnetização gera correntes de magnetização, especialmente nas superfícies dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnetização $ \vec{M} $ em um material pode gerar correntes de magnetização. Essas correntes podem ser de dois tipos: volumétricas e superficiais. No caso de uma magnetização uniforme e considerando apenas a superfície da esfera, vamos focar nas correntes superficiais.
Passo 3
A densidade superficial de corrente de magnetização $ \vec{K}_m $ é dada pela relação:
onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície da esfera. Essa expressão nos diz que a corrente superficial de magnetização é o produto vetorial entre a magnetização e a normal à superfície.
Passo 4
Vamos agora identificar a normal à superfície da esfera. Em uma esfera, o vetor normal $ \hat{n} $ no ponto de superfície é radial, ou seja, aponta na direção $ \hat{r} $. Então, podemos escrever:
Passo 5
Substituindo $ \vec{M} = M_0 \hat{a}_z $ e $ \hat{n} = \hat{r} $ na fórmula da densidade superficial de corrente, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o produto vetorial $ \hat{a}_z \times \hat{r} $. No sistema de coordenadas esféricas, o vetor radial $ \hat{r} $ pode ser decomposto em:
onde $ \theta $ é o ângulo polar.
Passo 7
Então, o produto vetorial fica:
Sabemos que $ \hat{a}_z \times \hat{a}_x = \hat{a}_y $ e $ \hat{a}_z \times \hat{a}_z = 0 $, então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da densidade superficial de corrente:
Isso nos mostra que a densidade superficial de corrente está na direção $ \hat{a}_y $ e depende do ângulo $ \theta $.
Resposta
A densidade superficial de corrente de magnetização na superfície da esfera é:
onde $ \theta $ é o ângulo polar e $ \hat{a}_\phi $ é o vetor unitário na direção azimutal.