(2.0 pontos) Uma esfera ferromagnética de raio a imersa no vácuo é magnetizada uniformimente com vetor de magnetização M^square=M0 a^wed>= z.
b. ( 0.5 ponto) Determine a densidade superficial de corrente de magnetização na superfície da esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera ferromagnética de raio $ a $ que está imersa no vácuo e foi magnetizada de forma uniforme com o vetor de magnetização $ \vec{M} = M_0 \hat{a}_z $. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade superficial de corrente de magnetização na superfície dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender como a magnetização gera correntes de magnetização, especialmente nas superfícies dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnetização $ \vec{M} $ em um material pode gerar correntes de magnetização. Essas correntes podem ser de dois tipos: volumétricas e superficiais. No caso de uma magnetização uniforme e considerando apenas a superfície da esfera, vamos focar nas correntes superficiais.

Passo 3

A densidade superficial de corrente de magnetização $ \vec{K}_m $ é dada pela relação:
Km
onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície da esfera. Essa expressão nos diz que a corrente superficial de magnetização é o produto vetorial entre a magnetização e a normal à superfície.

Passo 4

Vamos agora identificar a normal à superfície da esfera. Em uma esfera, o vetor normal $ \hat{n} $ no ponto de superfície é radial, ou seja, aponta na direção $ \hat{r} $. Então, podemos escrever:
n

Passo 5

Substituindo $ \vec{M} = M_0 \hat{a}_z $ e $ \hat{n} = \hat{r} $ na fórmula da densidade superficial de corrente, temos:
M = M0 az

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto vetorial $ \hat{a}_z \times \hat{r} $. No sistema de coordenadas esféricas, o vetor radial $ \hat{r} $ pode ser decomposto em:
az times r
onde $ \theta $ é o ângulo polar.

Passo 7

Então, o produto vetorial fica:
az times r = az times (sintheta ax + costheta az) = sintheta (az times ax) + costheta (az times az)
Sabemos que $ \hat{a}_z \times \hat{a}_x = \hat{a}_y $ e $ \hat{a}_z \times \hat{a}_z = 0 $, então:
az times ax = ay

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da densidade superficial de corrente:
Km = M0 sintheta ay
Isso nos mostra que a densidade superficial de corrente está na direção $ \hat{a}_y $ e depende do ângulo $ \theta $.

Resposta

A densidade superficial de corrente de magnetização na superfície da esfera é:
Km = M0 sintheta , aphi
onde $ \theta $ é o ângulo polar e $ \hat{a}_\phi $ é o vetor unitário na direção azimutal.

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