(1.5 pontos) Carga é distribuída com densidade uniforme
no interior de uma esfera de raio a. Admitindo que a esfera esteja executando um movimento de rotação, em torno do eixo
, com velocidade angular constante
, determine:
b. ( 0.5 pontos) As densidades de corrente de magnetização volumétrica e superficial na esfera.
b. ( 0.5 pontos) As densidades de corrente de magnetização volumétrica e superficial na esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre magnetização em uma esfera que está girando. O enunciado diz que temos uma carga distribuída de forma uniforme com densidade
dentro de uma esfera de raio
, e essa esfera está rodando em torno do eixo
com uma velocidade angular constante
. A gente precisa encontrar as densidades de corrente de magnetização, tanto volumétrica quanto superficial, nessa esfera.
Vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a relação entre magnetização e densidade de corrente. Para isso, vamos precisar entender como a rotação da carga gera uma corrente de magnetização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando cargas elétricas estão em movimento, elas geram uma corrente elétrica. No caso da esfera que está girando, as cargas estão se movendo circularmente, criando uma corrente de magnetização.
A magnetização
está relacionada à densidade de carga
e à velocidade de movimento das cargas. Como a esfera está girando com velocidade angular
, a velocidade linear de uma carga na superfície é
, onde
é o vetor posição.
Passo 3
A magnetização volumétrica
pode ser calculada usando a relação:
Aqui,
é o vetor velocidade angular e
é o vetor posição dentro da esfera. Essa expressão leva em conta que a distribuição de carga está se movendo com a rotação da esfera.
Passo 4
Agora, para encontrar a densidade de corrente volumétrica de magnetização
, usamos a relação:
Calculando o rotacional de
, temos:
Usando propriedades vetoriais, isso simplifica para:
Então, a densidade de corrente volumétrica é diretamente proporcional à densidade de carga e à velocidade angular.
Passo 5
Para a densidade de corrente superficial
, usamos a relação:
onde
é o vetor normal à superfície da esfera. Na superfície (
), a magnetização
é:
Calculando o produto vetorial:
Como
é radial e
também é radial na superfície, o resultado simplifica para:
onde
é a direção tangencial à superfície da esfera.
Resposta
A densidade de corrente de magnetização volumétrica é dada por
e a densidade de corrente superficial é
.