(1.5 pontos) Carga é distribuída com densidade uniforme rho no interior de uma esfera de raio a. Admitindo que a esfera esteja executando um movimento de rotação, em torno do eixo z, com velocidade angular constante omega, determine:
b. ( 0.5 pontos) As densidades de corrente de magnetização volumétrica e superficial na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre magnetização em uma esfera que está girando. O enunciado diz que temos uma carga distribuída de forma uniforme com densidade rho dentro de uma esfera de raio a, e essa esfera está rodando em torno do eixo z com uma velocidade angular constante omega. A gente precisa encontrar as densidades de corrente de magnetização, tanto volumétrica quanto superficial, nessa esfera.
Vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a relação entre magnetização e densidade de corrente. Para isso, vamos precisar entender como a rotação da carga gera uma corrente de magnetização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando cargas elétricas estão em movimento, elas geram uma corrente elétrica. No caso da esfera que está girando, as cargas estão se movendo circularmente, criando uma corrente de magnetização.
A magnetização M está relacionada à densidade de carga rho e à velocidade de movimento das cargas. Como a esfera está girando com velocidade angular omega, a velocidade linear de uma carga na superfície é v = omega times r, onde r é o vetor posição.

Passo 3

A magnetização volumétrica M pode ser calculada usando a relação:
M = 12 rho omega times r
Aqui, omega é o vetor velocidade angular e r é o vetor posição dentro da esfera. Essa expressão leva em conta que a distribuição de carga está se movendo com a rotação da esfera.

Passo 4

Agora, para encontrar a densidade de corrente volumétrica de magnetização Jm, usamos a relação:
Jm = nabla times M
Calculando o rotacional de M, temos:
Jm = nabla times ( 12 rho omega times r )
Usando propriedades vetoriais, isso simplifica para:
Jm = rho omega
Então, a densidade de corrente volumétrica é diretamente proporcional à densidade de carga e à velocidade angular.

Passo 5

Para a densidade de corrente superficial Km, usamos a relação:
Km = M times n
onde n é o vetor normal à superfície da esfera. Na superfície ( r = a), a magnetização M é:
M = 12 rho omega times a
Calculando o produto vetorial:
Km = 12 rho omega times a times n
Como n é radial e a também é radial na superfície, o resultado simplifica para:
Km = 12 rho omega a , phi
onde phi é a direção tangencial à superfície da esfera.

Resposta

A densidade de corrente de magnetização volumétrica é dada por Jm = rho,omega e a densidade de corrente superficial é Km = 12 rho,omega,a,phi.

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