(1.5 pontos)Considere que uma distribuição de corrente gera em todo o espaço, com permeabilidade magnética
um vetor de campo magnético expresso em coordenadas cilíndricas, dado por:
em que I (Ampere) e a (metro) são parâmetro fixos.
a. ( 0.25 pontos) Demostre que esse campo magnético é fisiciamente realizável
a. ( 0.25 pontos) Demostre que esse campo magnético é fisiciamente realizável
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo magnético gerado por uma distribuição de corrente no espaço, usando a permeabilidade magnética
. A gente precisa mostrar que esse campo magnético é fisicamente realizável. Para isso, vamos precisar entender conceitos de magnetostática, como as equações de Maxwell que regem os campos magnéticos. Vamos verificar se o campo dado satisfaz essas condições para ser considerado real no mundo físico.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo magnético que foi fornecido no enunciado. Em coordenadas cilíndricas
, o campo $ \mathbf{H} $ é dado por:
Aqui,
é a corrente em Ampere,
é uma distância em metros, e
é o vetor unitário na direção azimutal.
Passo 3
Para determinar se esse campo magnético é fisicamente realizável, precisamos verificar se ele satisfaz a equação de Maxwell para magnetostática sem monopolos, que é:
Como
, podemos verificar se:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de $ \mathbf{H} $ em coordenadas cilíndricas. A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas é:
No nosso caso, $ H_{\rho} = 0 $, $ H_{\phi} = I \rho a^{2} e^{-e_a} $, e $ H_{z} = 0 $.
Passo 5
Substituindo os componentes na fórmula da divergência:
Isso simplifica para:
Passo 6
Como a divergência de $ \mathbf{H} $ é zero, isso satisfaz a condição
, que é necessária para que o campo magnético seja fisicamente realizável na ausência de monopolos magnéticos.
Resposta
O campo magnético dado satisfaz
, demonstrando que é fisicamente realizável.