1. Obtenha e esboce o domínio D_{f} de f(x, y) e utilizando as regras dedrivação usuais calcule f_{y}(x, y) em D_{f}, onde
f(x, y)=e^{\frac{x}{y}} \ln \left(x^{2} / y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^{\frac{x}{y}}\;\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}}{y}\Bigr)
e pede dois itens:
  1. Obter e esboçar o domínio D_{f}.
  2. Calcular a derivada parcial \,f_{y}(x,y) em D_{f}.
    Conteúdos usados: domínio de funções de duas variáveis (condições de existência de exponencial e logaritmo) e derivação parcial (regra do produto e cadeia).

Passo 2

Para o domínio, vejamos as restrições:
  1. Em e^{x/y} o denominador não pode ser zero, logo y\neq 0.
  2. No logaritmo precisamos de argumento positivo:
\frac{x^{2}}{y}>0.
Como x^{2}\ge0, a fração só é positiva se x^{2}>0 (isto é, x\neq0) e y>0.
Portanto
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>0,\;x\neq0\}.
Esboço: toda a meia-plano acima do eixo x (isto é, y>0), excluindo a linha vertical x=0.

Passo 3

Para calcular \,f_{y} usamos a regra do produto em
f(x,y)=A(x,y)\;B(x,y),
com
A(x,y)=e^{\frac{x}{y}},\quad B(x,y)=\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}}{y}\Bigr).
Derivadas parciais:
  • Primeiro
\frac{\partial A}{\partial y} =e^{\frac{x}{y}}\;\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =e^{\frac{x}{y}}\;\Bigl(-\frac{x}{y^{2}}\Bigr) =-\frac{x}{y^{2}}\,e^{\frac{x}{y}}.
  • Depois
\frac{\partial B}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(x^{2})-\ln y\bigr) =0-\frac{1}{y} =-\frac{1}{y}.
Logo, pela regra do produto,
f_{y} =\frac{\partial A}{\partial y}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial y} =-\frac{x}{y^{2}}\,e^{\frac{x}{y}} \;\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}}{y}\Bigr) \;-\;\frac{1}{y}\,e^{\frac{x}{y}}.

Passo 4

Fatorando e^{\frac{x}{y}}/y^{2} fica mais compacto:
f_{y}(x,y) =\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}} \Bigl(-\,x\;\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr)\;-\;y\Bigr).

Resposta

Domínio:
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>0,\;x\neq0\}.
Derivada parcial em D_{f}:
f_{y}(x,y) =-\frac{x}{y^{2}}\,e^{\frac{x}{y}}\;\ln\!\Bigl(\frac{x^{2}}{y}\Bigr) -\frac{1}{y}\,e^{\frac{x}{y}}
ou equivalente
f_{y}(x,y) =\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}} \Bigl(-\,x\;\ln\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\bigr)\;-\;y\Bigr).

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