- Obtenha e esboce o domínio
de
e utilizando as regras dedrivação usuais calcule
em
, onde
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede dois itens:
- Obter e esboçar o domínio
. - Calcular a derivada parcial
em .
Conteúdos usados: domínio de funções de duas variáveis (condições de existência de exponencial e logaritmo) e derivação parcial (regra do produto e cadeia).
Passo 2
Para o domínio, vejamos as restrições:
- Em
o denominador não pode ser zero, logo - No logaritmo precisamos de argumento positivo:
Como
, a fração só é positiva se
(isto é,
) e
.
Portanto
Portanto
Esboço: toda a meia-plano acima do eixo
(isto é,
), excluindo a linha vertical
.
Passo 3
Para calcular
usamos a regra do produto em
com
Derivadas parciais:
- Primeiro
- Depois
Logo, pela regra do produto,
Passo 4
Fatorando
fica mais compacto:
Resposta
Domínio:
Derivada parcial em
:
ou equivalente