Utilizando a definição de diferenciabilidade mostre que f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}, onde
f(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+5 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2, que a função
f(x,y)=3x^{2}-y^{2}+5x
é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais, montar o candidato a diferencial (a parte linear) e verificar que o erro (resto) dividido pela norma do incremento tende a zero.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Lembrando que
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-y^{2}+5x\bigr) =6x+5
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-y^{2}+5x\bigr) =-2y

Passo 3

O candidato a diferencial de f em (x,y) é o mapeamento linear
L(h,k) = (6x+5)\,h \;+\;(-2y)\,k.
Pelo teste de diferenciabilidade, devemos mostrar que, para (h,k)\to(0,0),
R(h,k) =f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k)
satisfaz \displaystyle \frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\to0.

Passo 4

Expandindo f(x+h,y+k):
f(x+h,y+k) =3(x+h)^{2}-(y+k)^{2}+5(x+h) =3x^{2}+6xh+3h^{2}-y^{2}-2yk-k^{2}+5x+5h.
Subtraindo f(x,y)=3x^{2}-y^{2}+5x e o termo linear L(h,k)=(6x+5)h-2y\,k, obtemos
R(h,k) = \bigl(6xh+3h^{2}-2yk-k^{2}+5h\bigr) - \bigl((6x+5)h-2y\,k\bigr) =3h^{2}-k^{2}.
Então
\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| =\frac{|3h^{2}-k^{2}|}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} \le\frac{3h^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}+\frac{k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}.
Como \sqrt{h^{2}+k^{2}}\ge|h| e também \ge|k|, segue
\frac{3h^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\le3|h|\,,\quad \frac{k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\le|k|,
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\left|\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right| \le3|h|+|k|\;\xrightarrow[(h,k)\to(0,0)]{}\;0.
Isso prova que R(h,k)=o\bigl(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\bigr).

Resposta

A função f(x,y)=3x^{2}-y^{2}+5x é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. A sua diferencial em (x,y) é o mapeamento linear
\mathrm{d}f(x,y)(h,k)=(6x+5)\,h-2y\,k.

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