Utilizando a definição de diferenciabilidade mostre que f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}, onde
f(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+5 x
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de diferenciabilidade em \mathbb{R}^2, que a função
f(x,y)=3x^{2}-y^{2}+5x
é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais, montar o candidato a diferencial (a parte linear) e verificar que o erro (resto) dividido pela norma do incremento tende a zero.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de f. Lembrando que