Utilizando a definição de diferenciabilidade mostre que f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}, onde
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x,y)=\frac{y}{x^2+1}
é diferenciável em todo o \mathbb{R}^2, usando a definição de diferenciabilidade. Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais, (ii) propor o mapa linear aproximante L, e (iii) verificar que o resto dividido pela norma do incremento tende a zero.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
Para \partial f/\partial x usamos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{y}{(x+h)^2+1}-\frac{y}{x^2+1}}{h}.
Fazendo a diferença de frações e simplificando obtém-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =-\frac{2xy}{(x^2+1)^2}.
Para \partial f/\partial y é imediato:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\lim_{k\to0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{\frac{y+k}{x^2+1}-\frac{y}{x^2+1}}{k} =\frac{1}{x^2+1}.

Passo 3

A definição de diferenciabilidade em (x,y) exige um mapa linear
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,h +\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,k
tal que, se definirmos o resto
R(h,k)=f(x+h,y+k)-f(x,y)-L(h,k),
então
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.

Passo 4

Escrevamos
f(x+h,y+k)-f(x,y) =\frac{y+k}{(x+h)^2+1}-\frac{y}{x^2+1} =\frac{k}{(x+h)^2+1} +y\Bigl(\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\Bigr).
Logo
R(h,k) =\underbrace{\frac{k}{(x+h)^2+1}-\frac{k}{x^2+1}}_{R_1} \;+\; \underbrace{y\Bigl(\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{2x\,h}{(x^2+1)^2}\Bigr)}_{R_2}.
Agora avaliamos separadamente:
  1. Para R_1,
\bigl|R_1\bigr| =\biggl|k\frac{(x^2+1)-((x+h)^2+1)}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}\biggr| \le C_1\,|k|\,(2|x|\,|h|+h^2) \le C'_1\,|h|\,|k|.
  1. Para R_2, note que
\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1} =-\frac{2x\,h+h^2}{((x+h)^2+1)(x^2+1)},
então
\frac{1}{(x+h)^2+1}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{2x\,h}{(x^2+1)^2} = -\,\frac{h^2}{((x+h)^2+1)(x^2+1)} +2x\,h\Bigl(\frac{1}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}\Bigr)
é da ordem de h^2. Logo existe C_2 tal que
|R_2|\le C_2\,|y|\,h^2.
Somando, obtém-se
|R(h,k)|\le C'_1\,|h|\,|k|+C_2\,|y|\,h^2 \le C\,(h^2+|h||k|).
Dividindo pela norma \sqrt{h^2+k^2} e usando
h^2+|h||k|\le h^2+k^2,
vemos que
\frac{|R(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}\le C\,\frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}} =C\,\sqrt{h^2+k^2}\;\xrightarrow{(h,k)\to(0,0)}\;0.

Passo 5

Como o resto R(h,k) satisfaz
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0,
pela definição, f é diferenciável em (x,y). Como (x,y) era genérico, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

A função f(x,y)=\dfrac{y}{x^2+1} é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

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