Obtenha
para as seguintes funções no domínio do tempo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar a Transformada de Laplace de
. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace de funções multiplicadas por potência de
e somada a um desfasamento em
. Vamos precisar usar a identidade de soma de ângulos para o cosseno, a propriedade de linearidade da Laplace e a propriedade
.
Passo 2
Primeiro usamos a identidade trigonométrica
. Assim
Passo 3
Isso nos dá
Passo 4
Agora aplicamos a Laplace usando linearidade e a propriedade de derivadas no domínio de
:
Passo 5
Vamos calcular
: primeiro
.
Derivando uma vez:
Derivando uma vez:
$$F_1’(s)=\frac{(s2+4)-s(2s)}{(s2+4)2}=\frac{4-s2}{(s2+4)2}.
$$
Passo 6
Derivando de novo:
Passo 7
Agora
: seja
.
Derivando uma vez:
Derivando uma vez:
$$F_2’(s)=-2\cdot\frac{2s}{(s2+4)2}=-\frac{4s}{(s2+4)2}.
$$
Passo 8
Derivando de novo:
Passo 9
Finalmente combinamos tudo usando os coeficientes
e
:
Passo 10
Simplificando:
$$F(s)=\frac{\sqrt3,s(s2-12)-(6s2-8)}{(s2+4)3}.
$$