Obtenha F(s) para as seguintes funções no domínio do tempo.
t^2 cos (2 t+pi6)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a Transformada de Laplace de t^2cosl(2t+tfracpi6r). O conteúdo aqui é Transformada de Laplace de funções multiplicadas por potência de t e somada a um desfasamento em cos. Vamos precisar usar a identidade de soma de ângulos para o cosseno, a propriedade de linearidade da Laplace e a propriedade Lt^n f(t)=(-1)^ntfracd^nds^nF(s).

Passo 2

Primeiro usamos a identidade trigonométrica cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B. Assim
cosl(2t+tfracpi6r)=cos(2t)costfracpi6-sin(2t)sintfracpi6=tfracraiz32cos(2t)-tfrac12sin(2t)

Passo 3

Isso nos dá
t^2cosl(2t+tfracpi6r)=raiz32,t^2cos(2t)-12,t^2sin(2t)

Passo 4

Agora aplicamos a Laplace usando linearidade e a propriedade de derivadas no domínio de s:
Lt^2cos(2t)=d^2ds^2l[ss^2+4r], Lt^2sin(2t)=d^2ds^2l[2s^2+4r]

Passo 5

Vamos calcular Lt^2cos(2t): primeiro F1(s)=tfracss^2+4.
Derivando uma vez:
$$F_1’(s)=\frac{(s2+4)-s(2s)}{(s2+4)2}=\frac{4-s2}{(s2+4)2}.
$$

Passo 6

Derivando de novo:
F1''(s)=ddsl[4-s^2(s^2+4)^2r] =-2s(s^2+4)^2-(4-s^2)(2)(s^2+4)(2s)(s^2+4)^4 =2s(s^2-12)(s^2+4)^3

Passo 7

Agora Lt^2sin(2t): seja F2(s)=tfrac2s^2+4.
Derivando uma vez:
$$F_2’(s)=-2\cdot\frac{2s}{(s2+4)2}=-\frac{4s}{(s2+4)2}.
$$

Passo 8

Derivando de novo:
F2''(s)=ddsl[-4s(s^2+4)^2r] =-4l[1(s^2+4)^2-4s^2(s^2+4)^3r] =4(3s^2-4)(s^2+4)^3

Passo 9

Finalmente combinamos tudo usando os coeficientes tfracraiz32 e -tfrac12:
F(s)=raiz32F1''(s)-12F2''(s) =raiz32cdot2s(s^2-12)(s^2+4)^3-12cdot4(3s^2-4)(s^2+4)^3

Passo 10

Simplificando:
$$F(s)=\frac{\sqrt3,s(s2-12)-(6s2-8)}{(s2+4)3}.
$$

Resposta

F(s)=raiz3,s(s^2-12)-(6s^2-8)(s^2+4)^3

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