Obtenha a forma implícita da reta passando por
e seja ortogonal ao plano
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a forma implícita da reta que passa por P=(3,5,-1) e é ortogonal ao plano x+y+z=1. O conteúdo é reta em 3D e vamos usar que reta ortogonal a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano e que forma implícita de reta é o sistema de duas equações de planos cujo encontro é a reta.
Passo 2
O normal do plano x+y+z=1 é o vetor n=(1,1,1). Esse será o vetor direção da reta, já que reta ortogonal ao plano tem mesma direção do normal.
Passo 3
Para montar a forma implícita, precisamos de dois planos cujo encontro seja a reta. Cada plano é dado por um normal que deve ser perpendicular a direção da reta. Então buscamos dois vetores n1 e n2 tais que n1·(1,1,1)=0 e n2·(1,1,1)=0.
Passo 4
Escolhemos por exemplo n1=(1,-1,0) e n2=(1,0,-1), pois 1−1+0=0 e 1+0−1=0. Agora impomos que ambos os planos passem pelo ponto P=(3,5,-1).
Passo 5
O plano de normal n1=(1,-1,0) em P satisfaz (1,-1,0)·((x,y,z)−(3,5,-1))=0. Desenvolvendo:
[ (1)(x−3) + (−1)(y−5) + 0·(z+1) = 0 ]
Isso vira
[ x−3 −y+5 = 0 ]
Ou seja
[ x − y + 2 = 0 ]
[ (1)(x−3) + (−1)(y−5) + 0·(z+1) = 0 ]
Isso vira
[ x−3 −y+5 = 0 ]
Ou seja
[ x − y + 2 = 0 ]
Passo 6
O segundo plano de normal n2=(1,0,-1) em P satisfaz (1,0,-1)·((x,y,z)−(3,5,-1))=0. Desenvolvendo:
[ (1)(x−3) + 0·(y−5) + (−1)(z+1) = 0 ]
Isso dá
[ x−3 −z−1 = 0 ]
Ou seja
[ x − z − 4 = 0 ]
[ (1)(x−3) + 0·(y−5) + (−1)(z+1) = 0 ]
Isso dá
[ x−3 −z−1 = 0 ]
Ou seja
[ x − z − 4 = 0 ]
Passo 7
A interseção desses dois planos é exatamente a reta desejada.
Resposta
O sistema de equações que dá a forma implícita da reta é:
[ x − y + 2 = 0 ]
[ x − z − 4 = 0 ]
[ x − y + 2 = 0 ]
[ x − z − 4 = 0 ]