Suponha que
[T]beta^alpha=[rr 3 & 1 2 & 5 1 & -1 ]
onde alpha=(-1,1),(1,0) e beta=(1,1,-1),(2,1,0),(3,0,1) são bases de R^2 e R^3, respectivamente.
Encontre a expressão de T(x, y) e [T].

Passo 1

O exercício dá a matriz de um operador linear T : ℝ² → ℝ³ em bases não padrão α e β e pede a expressão de T(x,y) no sistema canônico e a matriz padrão de T. Vamos usar mudança de base de coordenadas para achar T em base canônica.

Passo 2

Para um vetor v=(x,y) em ℝ², primeiro expressamos v na base α={(-1,1),(1,0)}. Precisamos achar (a,b) tais que (x,y)=a(-1,1)+b(1,0). Das equações -a+b=x e a=y, segue a=y e b=x+y. Logo,
[v]α=ab=yx+y

Passo 3

Agora usamos [T]_β^α para achar as coordenadas de T(v) em β. Como
[T]β^α=3&12&51&-1,
temos
[T(v)]β=3&12&51&-1yx+y=3y+1(x+y)2y+5(x+y)1y-1(x+y)=x+4y5x+7y-x

Passo 4

Finalmente, escrevemos T(v) no sistema canônico usando a base β={(1,1,-1),(2,1,0),(3,0,1)}. Se (c₁,c₂,c₃)ᵀ=[T(v)]_β, então
T(x,y)=c₁(1,1,-1)+c₂(2,1,0)+c₃(3,0,1)

Passo 5

Com (c₁,c₂,c₃)=(x+4y,5x+7y,-x) obtemos
T(x,y)=(x+4y)(1,1,-1)+(5x+7y)(2,1,0)+(-x)(3,0,1)

Passo 6

Fazendo a soma componente a componente dá
T(x,y)=(8x+18y,;6x+11y,;-2x-4y)

Passo 7

Daí a matriz padrão [T] (colunas são T(1,0) e T(0,1)) é
[T]=8&186&11-2&-4

Resposta

T(x,y)=(8x+18y,;6x+11y,;-2x-4y) e [T]= 8&186&11-2&-4

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