Obtenha uma formulação numérica para
\alpha \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\alpha \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\left(\varphi_{A}-\beta(x, y) \varphi\right)=0
onde \alpha e \varphi_{A} são constantes e

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
\alpha \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\alpha \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\bigl(\varphi_{A}-\beta(x,y)\varphi\bigr)=0,
onde \alpha e \varphi_{A} são constantes e \beta(x,y) é uma função conhecida do espaço. O pedido é: obter uma formulação numérica (discreta) desta equação.
Informações relevantes dadas:
  • \alpha é constante;
  • \varphi_{A} é constante;
  • \beta(x,y) é função conhecida, avaliada em cada ponto como \beta_{i,j}=\beta(x_i,y_j);
  • a equação envolve derivadas segundas em x e y, logo precisamos de uma discretização do laplaciano e do termo \beta\varphi.
    Observações necessárias para a formulação numérica (não pergunto nada ao usuário):
  • Vou construir a formulação para nós internos da malha; condições de contorno (por exemplo Dirichlet ou Neumann) devem ser impostas à parte — quando houver condições de contorno Dirichlet conhecidas, o termo do lado direito será ajustado conforme indicado nos passos seguintes.

Passo 2

Definimos uma malha cartesiana e notação:
  • pontos de malha x_i = x_0 + i\,\Delta x, y_j = y_0 + j\,\Delta y;
  • aproximamos \varphi(x_i,y_j) por \varphi_{i,j};
  • \beta_{i,j}=\beta(x_i,y_j).
    Agora a parte didática: aproximação das derivadas segundas por diferenças centrais. Para uma função suave, a expansão de Taylor leva à aproximação de segunda derivada em x
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}\Big|_{(x_i,y_j)} \approx \frac{\varphi_{i+1,j}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}},
com erro de truncamento de ordem \mathcal{O}((\Delta x)^{2}). Analogamente em y:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}}\Big|_{(x_i,y_j)} \approx \frac{\varphi_{i,j+1}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}},
com erro \mathcal{O}((\Delta y)^{2}). Essas fórmulas são chamadas de diferenças centrais de segunda ordem e são as mais usadas em provas porque são simples e têm boa precisão relativa ao esforço.

Passo 3

Substituímos as aproximações das derivadas na equação PDE no nó (i,j). Usando as fórmulas do passo anterior:
\alpha\!\left(\frac{\varphi_{i+1,j}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}+\frac{\varphi_{i,j+1}-2\varphi_{i,j}+\varphi_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}\right)+\bigl(\varphi_{A}-\beta_{i,j}\varphi_{i,j}\bigr)=0.
Agora organizamos os termos por vizinhos e pelo nó central \varphi_{i,j}. Expandindo:
\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}}\varphi_{i+1,j}+\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}}\varphi_{i-1,j}+\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}}\varphi_{i,j+1}+\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}}\varphi_{i,j-1} +\varphi_{A}+\varphi_{i,j}\!\left(-\frac{2\alpha}{(\Delta x)^{2}}-\frac{2\alpha}{(\Delta y)^{2}}-\beta_{i,j}\right)=0.

Passo 4

Reescrevendo na forma algébrica usual (colocando o termo do nó central com coeficiente positivo à esquerda), multiplicando por -1 e isolando termos, obtemos
\varphi_{i,j}\Bigl(2\alpha\Bigl(\tfrac{1}{(\Delta x)^{2}}+\tfrac{1}{(\Delta y)^{2}}\Bigr)+\beta_{i,j}\Bigr) =\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}}\varphi_{i+1,j}+\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}}\varphi_{i-1,j}+\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}}\varphi_{i,j+1}+\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}}\varphi_{i,j-1}+\varphi_{A}.
Definimos os coeficientes de stencil para ficar bem claro (forma padrão para montagem de sistema linear):
a_E=\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}},\quad a_W=\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}},\quad a_N=\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}},\quad a_S=\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}},
a_P=2\alpha\Bigl(\tfrac{1}{(\Delta x)^{2}}+\tfrac{1}{(\Delta y)^{2}}\Bigr)+\beta_{i,j},\quad b_{i,j}=\varphi_{A}.
Então para cada nó interno (i,j) a equação discreta compacta é
a_P\,\varphi_{i,j}=a_E\,\varphi_{i+1,j}+a_W\,\varphi_{i-1,j}+a_N\,\varphi_{i,j+1}+a_S\,\varphi_{i,j-1}+b_{i,j}.
Comentários didáticos rápidos: essa é uma equação linear para \varphi_{i,j} envolvendo os quatro vizinhos (stencil 5 pontos). Repare que \beta_{i,j} atua aumentando o coeficiente central (é um termo reacional). O termo b_{i,j}=\varphi_A aparece como uma fonte constante. A ordem de precisão global desta discretização é \mathcal{O}((\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}).

Passo 5

Caso especial muito usado em provas: malha uniforme com \Delta x=\Delta y=h. Nesse caso as expressões simplificam. Os coeficientes ficam
a_E=a_W=a_N=a_S=\frac{\alpha}{h^{2}},\qquad a_P=\frac{4\alpha}{h^{2}}+\beta_{i,j},\qquad b_{i,j}=\varphi_{A}.
A equação discreta no nó (i,j) torna-se então
\frac{4\alpha}{h^{2}}\varphi_{i,j}=\frac{\alpha}{h^{2}}\bigl(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}+\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\bigr)+\varphi_{A}.
Multiplicando ambos os lados por h^{2} (às vezes útil para evitar divisões ao montar o sistema):
\bigl(4\alpha+\beta_{i,j}\,h^{2}\bigr)\varphi_{i,j} =\alpha\bigl(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}+\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\bigr)+\varphi_{A}\,h^{2}.
Observação prática para provas: se tiver condições de contorno de Dirichlet, valores \varphi nos nós de contorno entram diretamente no lado direito quando resolver para um nó interior que tem vizinhos na fronteira (substitua \varphi_{vizinho} por seu valor conhecido). Se as condições forem de Neumann, há que usar diferenças para aproximar a derivada normal e modificar o stencil — procedimento que eu mostro se você quiser, mas aqui considerei nós internos e/ou contornos Dirichlet.

Passo 6

Resumo do procedimento (passo-a-passo que você aplicaria numa prova):
  1. Escolha malha e defina \varphi_{i,j} e \beta_{i,j}.
  2. Substitua as diferenças centrais para \partial^{2}\varphi/\partial x^{2} e \partial^{2}\varphi/\partial y^{2}.
  3. Rearranje para obter a equação no nó (i,j) na forma a_P\varphi_{i,j}=\sum a_{nb}\varphi_{nb}+b.
  4. Aplique condições de contorno substituindo valores conhecidos ou modificando as equações quando neumann.
  5. Monte o sistema linear e resolva (no papel, identifique a equação de cada nó; numericamente, monte matriz e vetor).

Resposta

a_E=\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}},\quad a_W=\frac{\alpha}{(\Delta x)^{2}},\quad a_N=\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}},\quad a_S=\frac{\alpha}{(\Delta y)^{2}},
a_P=2\alpha\Bigl(\frac{1}{(\Delta x)^{2}}+\frac{1}{(\Delta y)^{2}}\Bigr)+\beta_{i,j},\quad b_{i,j}=\varphi_{A},
a_P\,\varphi_{i,j}=a_E\,\varphi_{i+1,j}+a_W\,\varphi_{i-1,j}+a_N\,\varphi_{i,j+1}+a_S\,\varphi_{i,j-1}+b_{i,j}.
Para malha uniforme \Delta x=\Delta y=h:
a_E=a_W=a_N=a_S=\frac{\alpha}{h^{2}},\quad a_P=\frac{4\alpha}{h^{2}}+\beta_{i,j},
\frac{4\alpha}{h^{2}}\varphi_{i,j}=\frac{\alpha}{h^{2}}\bigl(\varphi_{i+1,j}+\varphi_{i-1,j}+\varphi_{i,j+1}+\varphi_{i,j-1}\bigr)+\varphi_{A}.

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