onde \alpha e \varphi_{A} são constantes e \beta(x,y) é uma função conhecida do espaço. O pedido é: obter uma formulação numérica (discreta) desta equação.
Informações relevantes dadas:
\alpha é constante;
\varphi_{A} é constante;
\beta(x,y) é função conhecida, avaliada em cada ponto como \beta_{i,j}=\beta(x_i,y_j);
a equação envolve derivadas segundas em x e y, logo precisamos de uma discretização do laplaciano e do termo \beta\varphi.
Observações necessárias para a formulação numérica (não pergunto nada ao usuário):
Vou construir a formulação para nós internos da malha; condições de contorno (por exemplo Dirichlet ou Neumann) devem ser impostas à parte — quando houver condições de contorno Dirichlet conhecidas, o termo do lado direito será ajustado conforme indicado nos passos seguintes.
Passo 2
Definimos uma malha cartesiana e notação:
pontos de malha x_i = x_0 + i\,\Delta x, y_j = y_0 + j\,\Delta y;
aproximamos \varphi(x_i,y_j) por \varphi_{i,j};
\beta_{i,j}=\beta(x_i,y_j).
Agora a parte didática: aproximação das derivadas segundas por diferenças centrais. Para uma função suave, a expansão de Taylor leva à aproximação de segunda derivada em x
com erro \mathcal{O}((\Delta y)^{2}). Essas fórmulas são chamadas de diferenças centrais de segunda ordem e são as mais usadas em provas porque são simples e têm boa precisão relativa ao esforço.
Passo 3
Substituímos as aproximações das derivadas na equação PDE no nó (i,j). Usando as fórmulas do passo anterior:
Reescrevendo na forma algébrica usual (colocando o termo do nó central com coeficiente positivo à esquerda), multiplicando por -1 e isolando termos, obtemos
Comentários didáticos rápidos: essa é uma equação linear para \varphi_{i,j} envolvendo os quatro vizinhos (stencil 5 pontos). Repare que \beta_{i,j} atua aumentando o coeficiente central (é um termo reacional). O termo b_{i,j}=\varphi_A aparece como uma fonte constante. A ordem de precisão global desta discretização é \mathcal{O}((\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}).
Passo 5
Caso especial muito usado em provas: malha uniforme com \Delta x=\Delta y=h. Nesse caso as expressões simplificam. Os coeficientes ficam
Observação prática para provas: se tiver condições de contorno de Dirichlet, valores \varphi nos nós de contorno entram diretamente no lado direito quando resolver para um nó interior que tem vizinhos na fronteira (substitua \varphi_{vizinho} por seu valor conhecido). Se as condições forem de Neumann, há que usar diferenças para aproximar a derivada normal e modificar o stencil — procedimento que eu mostro se você quiser, mas aqui considerei nós internos e/ou contornos Dirichlet.
Passo 6
Resumo do procedimento (passo-a-passo que você aplicaria numa prova):
Escolha malha e defina \varphi_{i,j} e \beta_{i,j}.
Substitua as diferenças centrais para \partial^{2}\varphi/\partial x^{2} e \partial^{2}\varphi/\partial y^{2}.
Rearranje para obter a equação no nó (i,j) na forma a_P\varphi_{i,j}=\sum a_{nb}\varphi_{nb}+b.
Aplique condições de contorno substituindo valores conhecidos ou modificando as equações quando neumann.
Monte o sistema linear e resolva (no papel, identifique a equação de cada nó; numericamente, monte matriz e vetor).