Nas alíneas abaixo, obtenha as formulações numéricas para a EDO considerada e construa os sistemas de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio: \begin{gathered}
\frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\beta(x)\left(\varphi_{A}-\varphi\right)=0 \\
\varphi(x=0)=\varphi_{W} \\
\varphi\left(x=L_{x}\right)=\varphi_{E}
\end{gathered}
onde \varphi_{A} é constante;
onde \varphi_{A} é constante. Especificamente, precisamos:
obter a formulação numérica (discretização) da EDO;
construir o sistema de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio (ou seja, cinco incógnitas \varphi_{1},\dots,\varphi_{5} entre as fronteiras).
Informações fornecidas que vamos usar: \beta(x) (função de x), \varphi_A constante, \varphi_W e \varphi_E conhecidos, domínio [0,L_{x}]. Não foi dado passo de discretização, então vou assumir malha uniforme e cinco nós internos conforme pedido.
Os pontos da malha são x_{i}=i\,h para i=0,1,\dots,6. Então:
x_{0}=0,\quad x_{6}=L_{x},
com \varphi_{0}=\varphi_{W} e \varphi_{6}=\varphi_{E} conhecidos; as incógnitas são \varphi_{i} para i=1,2,3,4,5. Denoto \beta_{i}=\beta(x_{i}) (avaliação de \beta no nó).
Passo 3
Vou derivar a aproximação para a segunda derivada usando diferenças centrais (passo-a-passo via séries de Taylor, para você entender a origem e a ordem de erro).
Expansões de Taylor em torno de x_{i}:
Agora trato as contribuições das condições de contorno (os termos \varphi_{0}=\varphi_{W} e \varphi_{6}=\varphi_{E} são conhecidos). Escrevo explicitamente as cinco equações para i=1,\dots,5.
Portanto temos um sistema linear tridiagonal A\Phi=b onde \Phi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5})^{T}, as entradas são:
A=\begin{pmatrix} a_{1} & c & 0 & 0 & 0\\[4pt] c & a_{2} & c & 0 & 0\\[4pt] 0 & c & a_{3} & c & 0\\[4pt] 0 & 0 & c & a_{4} & c\\[4pt] 0 & 0 & 0 & c & a_{5} \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix} -\beta_{1}\varphi_{A}-c\varphi_{W}\\[4pt] -\beta_{2}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{3}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{4}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{5}\varphi_{A}-c\varphi_{E} \end{pmatrix},
com c=1/h^{2} e a_{i}=-2c-\beta_{i} e \beta_{i}=\beta(x_{i}).]
Passo 6
Apresento também (opcionalmente — às vezes é mais prático para implementação) a versão multiplicada por h^{2} que elimina as frações:
multiplicando cada equação por h^{2} obtemos
Nesta escala, a matriz tridiagonal fica com sub-/super-diagonal iguais a 1 e diagonal principal igual a -(2+\beta_{i}h^{2}). Os termos de contorno aparecem no lado direito como -\varphi_{W} (para a equação do primeiro nó) e -\varphi_{E} (para a do último nó), além do termo -\beta_{i}h^{2}\varphi_{A}.
Passo 7
Observações práticas rápidas (para a prova):
O sistema é tridiagonal e pode ser resolvido eficientemente com o algoritmo de Thomas (complexidade linear).
A aproximação tem erro local \mathcal{O}(h^{2}) por usar diferenças centrais.
Se \beta(x) varia suavemente, avaliar \beta nos nós (i.e. \beta_{i}=\beta(x_{i})) é a escolha natural; se \beta for dada em média por elemento, poderíamos usar média elemento/nó — mas para a prova a avaliação em nós costuma ser suficiente.