Nas alíneas abaixo, obtenha as formulações numéricas para a EDO considerada e construa os sistemas de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio:
\begin{gathered} \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\beta(x)\left(\varphi_{A}-\varphi\right)=0 \\ \varphi(x=0)=\varphi_{W} \\ \varphi\left(x=L_{x}\right)=\varphi_{E} \end{gathered}
onde \varphi_{A} é constante;

Passo 1

O enunciado pede: formular numericamente a EDO
\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}+\beta(x)\bigl(\varphi_{A}-\varphi\bigr)=0
com as condições de contorno
\varphi(0)=\varphi_{W},\qquad \varphi(L_{x})=\varphi_{E},
onde \varphi_{A} é constante. Especificamente, precisamos:
  1. obter a formulação numérica (discretização) da EDO;
  2. construir o sistema de equações na forma matricial para cinco nós no interior do domínio (ou seja, cinco incógnitas \varphi_{1},\dots,\varphi_{5} entre as fronteiras).
    Informações fornecidas que vamos usar: \beta(x) (função de x), \varphi_A constante, \varphi_W e \varphi_E conhecidos, domínio [0,L_{x}]. Não foi dado passo de discretização, então vou assumir malha uniforme e cinco nós internos conforme pedido.

Passo 2

Defino a malha uniforme e a numeração dos nós:
N_{\text{int}}=5,\qquad N_{\text{total}}=N_{\text{int}}+2=7.
O espaçamento uniforme é
h=\frac{L_{x}}{N_{\text{int}}+1}=\frac{L_{x}}{6}.
Os pontos da malha são x_{i}=i\,h para i=0,1,\dots,6. Então:
x_{0}=0,\quad x_{6}=L_{x},
com \varphi_{0}=\varphi_{W} e \varphi_{6}=\varphi_{E} conhecidos; as incógnitas são
\varphi_{i} para i=1,2,3,4,5. Denoto \beta_{i}=\beta(x_{i}) (avaliação de \beta no nó).

Passo 3

Vou derivar a aproximação para a segunda derivada usando diferenças centrais (passo-a-passo via séries de Taylor, para você entender a origem e a ordem de erro).
Expansões de Taylor em torno de x_{i}:
\varphi(x_{i\pm 1})=\varphi_{i}\pm h\varphi'_{i}+\frac{h^{2}}{2}\varphi''_{i}\pm\frac{h^{3}}{6}\varphi'''_{i}+\mathcal{O}(h^{4}).
Somando as duas expansões (lado i+1 e i-1) cancela os termos ímpares e obtemos:
\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}=h^{2}\varphi''_{i}+\mathcal{O}(h^{4}).
Logo a fórmula de diferença central de segunda ordem para a segunda derivada é
\varphi''(x_{i})\approx\frac{\varphi_{i+1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i-1}}{h^{2}},
com erro de ordem \mathcal{O}(h^{2}). Essa é a aproximação que vamos usar (é a mais comum em provas e suficientemente precisa).

Passo 4

Aplico a aproximação no ponto x_{i} para cada nó interno i=1,\dots,5. Substituindo em
\varphi''(x_{i})+\beta_{i}\bigl(\varphi_{A}-\varphi_{i}\bigr)=0
temos
\frac{\varphi_{i-1}-2\varphi_{i}+\varphi_{i+1}}{h^{2}}+\beta_{i}\bigl(\varphi_{A}-\varphi_{i}\bigr)=0.
Reorganizando para colocar as incógnitas \varphi_{i-1},\varphi_{i},\varphi_{i+1} no lado esquerdo:
\frac{1}{h^{2}}\varphi_{i-1}+\Bigl(-\frac{2}{h^{2}}-\beta_{i}\Bigr)\varphi_{i}+\frac{1}{h^{2}}\varphi_{i+1}=-\beta_{i}\varphi_{A}.
Para simplificar a notação, defino
c=\frac{1}{h^{2}},\qquad a_{i}=-\frac{2}{h^{2}}-\beta_{i}=-2c-\beta_{i}.
Assim a equação no nó i fica
c\,\varphi_{i-1}+a_{i}\,\varphi_{i}+c\,\varphi_{i+1}=-\beta_{i}\varphi_{A}.

Passo 5

Agora trato as contribuições das condições de contorno (os termos \varphi_{0}=\varphi_{W} e \varphi_{6}=\varphi_{E} são conhecidos). Escrevo explicitamente as cinco equações para i=1,\dots,5.
Para i=1:
c\,\varphi_{0}+a_{1}\,\varphi_{1}+c\,\varphi_{2}=-\beta_{1}\varphi_{A}
como \varphi_{0}=\varphi_{W} conhecido, passo-o para o lado direito:
a_{1}\varphi_{1}+c\varphi_{2}=-\beta_{1}\varphi_{A}-c\varphi_{W}.
Para i=2,3,4 (nós internos sem fronteira direta):
c\varphi_{i-1}+a_{i}\varphi_{i}+c\varphi_{i+1}=-\beta_{i}\varphi_{A}.
Para i=5:
c\varphi_{4}+a_{5}\varphi_{5}+c\varphi_{6}=-\beta_{5}\varphi_{A}
com \varphi_{6}=\varphi_{E} conhecido, passamos para o RHS:
c\varphi_{4}+a_{5}\varphi_{5}=-\beta_{5}\varphi_{A}-c\varphi_{E}.
Portanto temos um sistema linear tridiagonal A\Phi=b onde \Phi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5})^{T}, as entradas são:
A=\begin{pmatrix} a_{1} & c & 0 & 0 & 0\\[4pt] c & a_{2} & c & 0 & 0\\[4pt] 0 & c & a_{3} & c & 0\\[4pt] 0 & 0 & c & a_{4} & c\\[4pt] 0 & 0 & 0 & c & a_{5} \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix} -\beta_{1}\varphi_{A}-c\varphi_{W}\\[4pt] -\beta_{2}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{3}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{4}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{5}\varphi_{A}-c\varphi_{E} \end{pmatrix},
com c=1/h^{2} e a_{i}=-2c-\beta_{i} e \beta_{i}=\beta(x_{i}).]

Passo 6

Apresento também (opcionalmente — às vezes é mais prático para implementação) a versão multiplicada por h^{2} que elimina as frações:
multiplicando cada equação por h^{2} obtemos
\varphi_{i-1}-(2+\beta_{i}h^{2})\varphi_{i}+\varphi_{i+1}=-\beta_{i}h^{2}\varphi_{A}.
Nesta escala, a matriz tridiagonal fica com sub-/super-diagonal iguais a 1 e diagonal principal igual a -(2+\beta_{i}h^{2}). Os termos de contorno aparecem no lado direito como -\varphi_{W} (para a equação do primeiro nó) e -\varphi_{E} (para a do último nó), além do termo -\beta_{i}h^{2}\varphi_{A}.

Passo 7

Observações práticas rápidas (para a prova):
  • O sistema é tridiagonal e pode ser resolvido eficientemente com o algoritmo de Thomas (complexidade linear).
  • A aproximação tem erro local \mathcal{O}(h^{2}) por usar diferenças centrais.
  • Se \beta(x) varia suavemente, avaliar \beta nos nós (i.e. \beta_{i}=\beta(x_{i})) é a escolha natural; se \beta for dada em média por elemento, poderíamos usar média elemento/nó — mas para a prova a avaliação em nós costuma ser suficiente.

Resposta

c=\frac{1}{h^{2}},\qquad h=\frac{L_{x}}{6},\qquad a_{i}=-2c-\beta_{i},\qquad \beta_{i}=\beta(x_{i})
\begin{pmatrix} a_{1} & c & 0 & 0 & 0\\[4pt] c & a_{2} & c & 0 & 0\\[4pt] 0 & c & a_{3} & c & 0\\[4pt] 0 & 0 & c & a_{4} & c\\[4pt] 0 & 0 & 0 & c & a_{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi_{1}\\[4pt] \varphi_{2}\\[4pt] \varphi_{3}\\[4pt] \varphi_{4}\\[4pt] \varphi_{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\beta_{1}\varphi_{A}-c\varphi_{W}\\[4pt] -\beta_{2}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{3}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{4}\varphi_{A}\\[4pt] -\beta_{5}\varphi_{A}-c\varphi_{E} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados