Utilizando expansões em série de Taylor, obtenha aproximações
avançada, recuada e centrada para a derivada primeira espacial, quando a função é dependente de x e quando a função é dependente de x e t;

Passo 1

O que o enunciado pede: obter aproximações — avançada (forward), recuada (backward) e centrada (central) — para a derivada primeira espacial usando expansões em série de Taylor. Pedem as fórmulas quando a função depende só de x e quando depende de x e t.
Dados/hipóteses que vamos usar: existe uma malha espacial com passo \,h>0, e a função é suave o suficiente (derivadas até ordem necessária existem e são contínuas). Usaremos as expansões de Taylor em torno de um ponto x. Denotarei por f(x) a função quando ela depende apenas de x e por f(x,t) quando depende também de t. Nosso objetivo final será escrever fórmulas para \,f'(x) (ou \,\partial_x f(x,t)) em termos de valores discretos f(x\pm h), f(x\pm 2h), etc., e identificar a ordem do erro de truncamento.

Passo 2

Ferramenta básica: expansão de Taylor. Vou lembrar e explicar a forma que usaremos. Para uma função suficientemente suave f expandida em torno de x temos, para algum \xi entre x e x+h,
f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{h^{4}}{24} f^{(4)}(\xi).
Isto significa que podemos escrever
f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}),
onde o O(h^{4}) indica termos da ordem h^{4} quando h\to0. A mesma coisa vale para f(x-h) com sinais alternados para potências ímpares:
f(x-h)=f(x)-h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)-\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}).
Aqui cada derivada é avaliada em x.

Passo 3

Derivação da diferença avançada (forward) de primeira ordem. Começamos da expansão de f(x+h):
f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+O(h^{3}).
Isolando f'(x) e dividindo por h obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2} f''(x)+O(h^{2}).
Portanto a fórmula avançada de primeira ordem é
f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h},
com erro de truncamento da ordem O(h). Interpretação: esta é uma aproximação assimétrica que usa o ponto atual e o próximo à direita; o termo de erro principal é proporcional a h (dependente de f'').

Passo 4

Derivação da diferença recuada (backward) de primeira ordem. Usamos a expansão de f(x-h):
f(x-h)=f(x)-h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+O(h^{3}).
Isolando f'(x) e dividindo por h obtemos
\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2} f''(x)+O(h^{2}).
Logo a fórmula recuada de primeira ordem é
f'(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h},
também com erro de truncamento O(h). É análoga à avançada mas usa o ponto atual e o anterior à esquerda.

Passo 5

Derivação da diferença centrada de segunda ordem (a mais usada). Subtraímos as expansões de f(x+h) e f(x-h) para eliminar termos de ordem par e isolar f'(x). Usando as duas expansões:
\begin{aligned} f(x+h)&=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}),\\\ f(x-h)&=f(x)-h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)-\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}). \end{aligned}
Subtraindo f(x-h) de f(x+h)
f(x+h)-f(x-h)=2h f'(x)+\frac{2h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{5}).
Dividindo por 2h,
\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\frac{h^{2}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}).
Portanto a diferença centrada é
f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},
com erro de truncamento O(h^{2}). Observação importante: a centrada é mais precisa (ordem h^{2}) porque cancelamos o termo de ordem h presente nas aproximações avançada/recuada.

Passo 6

Construção de uma aproximação avançada de segunda ordem (biased forward, útil em contornos onde não há pontos à esquerda). Para isto usamos duas expansões: f(x+h) e f(x+2h). Escrevemos
\begin{aligned} f(x+h)&=f(x)+h f'(x)+\frac{h^{2}}{2} f''(x)+\frac{h^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}),\\\ f(x+2h)&=f(x)+2h f'(x)+\frac{(2h)^{2}}{2} f''(x)+\frac{(2h)^{3}}{6} f^{(3)}(x)+O(h^{4}). \end{aligned}
Expandindo f(x+2h) termos:
f(x+2h)=f(x)+2h f'(x)+2h^{2} f''(x)+\frac{4h^{3}}{3} f^{(3)}(x)+O(h^{4}).
Agora procuramos coeficientes A e B tais que uma combinação linear A f(x+h)+B f(x+2h)+C f(x) aproxime f'(x) dividida por h e cancele termos de ordem h e h^{2} indesejados. Uma forma direta (padrão) dá a fórmula:
f'(x)\approx \frac{-f(x+2h)+4 f(x+h)-3 f(x)}{2h},
que tem erro O(h^{2}). Posso verificar rapidamente: dividir e combinar as expansões cancela os termos em f(x) e ajusta para obter coeficiente unitário em f'(x), deixando resto proporcional a h^{2}.

Passo 7

Construção da aproximação recuada de segunda ordem (biassed backward). Por simetria, usando f(x-h) e f(x-2h) obtemos a versão espelhada:
f'(x)\approx \frac{3 f(x)-4 f(x-h)+f(x-2h)}{2h},
também com erro O(h^{2}). Novamente é útil perto de uma fronteira direita onde não existem pontos à direita.

Passo 8

Interpretação do termo de erro (truncamento) e como usá-lo na prova. Em cada aproximação os termos O(h) ou O(h^{2}) significam que o erro principal envolve derivadas de ordem mais alta multiplicadas por potências de h. Por exemplo, na diferença avançada de primeira ordem o termo de erro principal é \frac{h}{2} f''(x). Na central de segunda ordem é \frac{h^{2}}{6} f^{(3)}(x). Na prova, se precisar mostrar ordem de convergência ou justificar precisão, basta exibir esse termo remanescente vindo da expansão de Taylor.

Passo 9

Caso da função dependente de x e t: diferença entre derivada total e parcial; resultado prático. Quando a função é f(x,t) e queremos a derivada espacial, a notação correta é a derivada parcial \partial_x f (ou f_x). Todas as deduções feitas acima usam expansões em x com t considerado parâmetro fixo; portanto as fórmulas permanecem válidas trocando f por f(\cdot,t) e f' por \partial_x f. Exemplo: a diferença centrada para derivada espacial é
\partial_x f(x,t)\approx \frac{f(x+h,t)-f(x-h,t)}{2h}+O(h^{2}).
Em outras palavras, dependência temporal não altera a forma das fórmulas espaciais — apenas devemos interpretar as derivadas como parciais em x e avaliar as funções mantendo t fixo.

Passo 10

Resumo prático — como lembrar na prova (dica amiga).
  • Se tiver pontos à direita e à esquerda e quiser precisão melhor use a fórmula centrada: diferença centrada é geralmente a melhor escolha (ordem h^{2}).
  • Se estiver em fronteira e só puder usar pontos à direita (ou à esquerda), prefira as fórmulas avançada/recuada de segunda ordem (as versões com f(x\pm 2h)) para manter precisão O(h^{2}); a versão simples com um ponto vizinho só dá O(h).
  • Sempre indique a ordem do erro usando o termo dominante vindo da expansão de Taylor.

Resposta

Avançada (primeira ordem):
f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+O(h)
Recuada (primeira ordem):
f'(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}+O(h)
Centrada (segunda ordem):
f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^{2})
Avançada (segunda ordem, biasada):
f'(x)\approx \frac{-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)}{2h}+O(h^{2})
Recuada (segunda ordem, biasada):
f'(x)\approx \frac{3f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{2h}+O(h^{2})
Mesmas fórmulas para f(x,t) com derivada parcial espacial (substituir f por f(\cdot,t) e f' por \partial_x f), por exemplo:
\partial_x f(x,t)\approx \frac{f(x+h,t)-f(x-h,t)}{2h}+O(h^{2}).

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