Utilizando expansões em série de Taylor, obtenha aproximações
avançada, recuada e centrada para a derivada primeira espacial, quando a função é dependente de
e quando a função é dependente de
e
;
avançada, recuada e centrada para a derivada primeira espacial, quando a função é dependente de
Passo 1
O que o enunciado pede: obter aproximações — avançada (forward), recuada (backward) e centrada (central) — para a derivada primeira espacial usando expansões em série de Taylor. Pedem as fórmulas quando a função depende só de
e quando depende de
e
.
Dados/hipóteses que vamos usar: existe uma malha espacial com passo , e a função é suave o suficiente (derivadas até ordem necessária existem e são contínuas). Usaremos as expansões de Taylor em torno de um ponto
. Denotarei por
a função quando ela depende apenas de
e por
quando depende também de
. Nosso objetivo final será escrever fórmulas para
(ou
) em termos de valores discretos
,
, etc., e identificar a ordem do erro de truncamento.
Dados/hipóteses que vamos usar: existe uma malha espacial com passo
Passo 2
Ferramenta básica: expansão de Taylor. Vou lembrar e explicar a forma que usaremos. Para uma função suficientemente suave
expandida em torno de
temos, para algum
entre
e
,
Isto significa que podemos escrever
onde o
indica termos da ordem
quando
. A mesma coisa vale para
com sinais alternados para potências ímpares:
Aqui cada derivada é avaliada em
.
Passo 3
Derivação da diferença avançada (forward) de primeira ordem. Começamos da expansão de
:
Isolando
e dividindo por
obtemos
Portanto a fórmula avançada de primeira ordem é
com erro de truncamento da ordem
. Interpretação: esta é uma aproximação assimétrica que usa o ponto atual e o próximo à direita; o termo de erro principal é proporcional a
(dependente de
).
Passo 4
Derivação da diferença recuada (backward) de primeira ordem. Usamos a expansão de
:
Isolando
e dividindo por
obtemos
Logo a fórmula recuada de primeira ordem é
também com erro de truncamento
. É análoga à avançada mas usa o ponto atual e o anterior à esquerda.
Passo 5
Derivação da diferença centrada de segunda ordem (a mais usada). Subtraímos as expansões de
e
para eliminar termos de ordem par e isolar
. Usando as duas expansões:
Subtraindo
de
dá
Dividindo por
,
Portanto a diferença centrada é
com erro de truncamento
. Observação importante: a centrada é mais precisa (ordem
) porque cancelamos o termo de ordem
presente nas aproximações avançada/recuada.
Passo 6
Construção de uma aproximação avançada de segunda ordem (biased forward, útil em contornos onde não há pontos à esquerda). Para isto usamos duas expansões:
e
. Escrevemos
Expandindo
termos:
Agora procuramos coeficientes
e
tais que uma combinação linear
aproxime
dividida por
e cancele termos de ordem
e
indesejados. Uma forma direta (padrão) dá a fórmula:
que tem erro
. Posso verificar rapidamente: dividir e combinar as expansões cancela os termos em
e ajusta para obter coeficiente unitário em
, deixando resto proporcional a
.
Passo 7
Construção da aproximação recuada de segunda ordem (biassed backward). Por simetria, usando
e
obtemos a versão espelhada:
também com erro
. Novamente é útil perto de uma fronteira direita onde não existem pontos à direita.
Passo 8
Interpretação do termo de erro (truncamento) e como usá-lo na prova. Em cada aproximação os termos
ou
significam que o erro principal envolve derivadas de ordem mais alta multiplicadas por potências de
. Por exemplo, na diferença avançada de primeira ordem o termo de erro principal é
. Na central de segunda ordem é
. Na prova, se precisar mostrar ordem de convergência ou justificar precisão, basta exibir esse termo remanescente vindo da expansão de Taylor.
Passo 9
Caso da função dependente de
e
: diferença entre derivada total e parcial; resultado prático. Quando a função é
e queremos a derivada espacial, a notação correta é a derivada parcial
(ou
). Todas as deduções feitas acima usam expansões em
com
considerado parâmetro fixo; portanto as fórmulas permanecem válidas trocando
por
e
por
. Exemplo: a diferença centrada para derivada espacial é
Em outras palavras, dependência temporal não altera a forma das fórmulas espaciais — apenas devemos interpretar as derivadas como parciais em
e avaliar as funções mantendo
fixo.
Passo 10
Resumo prático — como lembrar na prova (dica amiga).
- Se tiver pontos à direita e à esquerda e quiser precisão melhor use a fórmula centrada: diferença centrada é geralmente a melhor escolha (ordem
). - Se estiver em fronteira e só puder usar pontos à direita (ou à esquerda), prefira as fórmulas avançada/recuada de segunda ordem (as versões com
) para manter precisão ; a versão simples com um ponto vizinho só dá . - Sempre indique a ordem do erro usando o termo dominante vindo da expansão de Taylor.
Resposta
Avançada (primeira ordem):
Recuada (primeira ordem):
Centrada (segunda ordem):
Avançada (segunda ordem, biasada):
Recuada (segunda ordem, biasada):
Mesmas fórmulas para
com derivada parcial espacial (substituir
por
e
por
), por exemplo: