Obtenha a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas:
0,25151 \ldots

Passo 1

O enunciado pede a fração geratriz de 0,25151515\ldots. Esse tipo de problema envolve converter uma dízima periódica em fração, separando a parte não periódica da parte periódica.

Passo 2

Identificamos que em 0,25151515\ldots a parte não periódica tem comprimento
m = 2
(ou seja, os dígitos “25” antes do início da repetição)
e a parte periódica tem comprimento
l = 2
(os dígitos “15” que se repetem).
A fórmula geral para
x = 0,a_1a_2\ldots a_m\overline{b_1b_2\ldots b_l}
é
x = \frac{A - N}{10^{m+l} - 10^m},
onde
A é o número formado pelos m+l primeiros dígitos e
N é o número formado pelos m dígitos não periódicos.

Passo 3

No nosso caso o número formado pelos quatro primeiros dígitos é
A = 2515
e o número formado pelos dois primeiros dígitos não periódicos é
N = 25.

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos
x = \frac{A - N}{10^{m+l} - 10^m} = \frac{2515 - 25}{10^{4} - 10^{2}} = \frac{2490}{10000 - 100} = \frac{2490}{9900}.

Passo 5

Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum
\gcd(2490,9900)=30:
x = \frac{2490 \div 30}{9900 \div 30} = \frac{83}{330}.

Resposta

\displaystyle \frac{83}{330}

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