Dé a soma dos termos de cada uma das seguintes PG.:
\left(a, 1, \frac{1}{a}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado dá a progressão geométrica cujos termos são
a_1 = a,\quad a_2 = 1,\quad a_3 = \frac1a,\;\ldots
e pede a soma de seus termos. O conteúdo é soma de progressão geométrica, para o qual precisamos da razão r e da fórmula da soma dos n primeiros termos, além da soma infinita quando \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Calculamos a razão r dividindo o segundo termo pelo primeiro:
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{a}.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo a_1 e razão r\neq1 é
S_n = a_1\,\frac{1-r^n}{1-r}.
Aqui a_1 = a e r = \tfrac1a, logo
S_n = a\;\frac{1 - \bigl(\tfrac1a\bigr)^n}{1 - \tfrac1a}.

Passo 4

Para simplificar, observe que
1 - \frac1a = \frac{a-1}{a},
então
S_n = a\;\frac{1 - a^{-n}}{\tfrac{a-1}{a}} = a\;\frac{a\bigl(1 - a^{-n}\bigr)}{a-1} = \frac{a^2\bigl(1 - a^{-n}\bigr)}{a-1}.

Passo 5

Se \lvert r\rvert<1, isto é, \bigl\lvert\tfrac1a\bigr\rvert<1 (ou seja, \lvert a\rvert>1), a soma infinita converge e vale
S_\infty = \frac{a_1}{1-r} = \frac{a}{1 - \tfrac1a} = \frac{a^2}{a-1}.

Resposta

Para n termos:
S_n = \frac{a^2\bigl(1 - a^{-n}\bigr)}{a-1}.
Se \lvert a\rvert>1, a soma infinita é
S_\infty = \frac{a^2}{a-1}.

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