Obtenha a fração geratriz das seguintes dizimas periódicas:
0,999 \ldots

Passo 1

O enunciado pede a fração geratriz da dízima periódica pura 0,999\ldots. Para uma dízima periódica pura cujo período tem comprimento n, basta definir x igual à dízima, multiplicar por 10^n e subtrair a expressão original de modo a eliminar a parte decimal infinita.

Passo 2

Aqui o período é só o dígito 9, logo n=1. Definimos
x = 0,999\ldots
Multiplicando por 10^1=10, obtemos
10x = 9,999\ldots

Passo 3

Subtraindo a definição de x da de 10x, temos
10x - x = 9,999\ldots - 0,999\ldots
o que dá
9x = 9
e, portanto,
x = \frac{9}{9} = 1.

Resposta

A fração geratriz de 0,999\ldots é \displaystyle \frac{1}{1}, ou simplesmente 1.

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