Dé a soma dos termos de cada uma das seguintes PG.:
\left(x, y, \frac{y^{2}}{x}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma dos termos da PG
\bigl(x,\,y,\,\tfrac{y^2}{x},\dots\bigr).
O conteúdo é progressão geométrica e vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos e, em seguida, o caso da soma infinita quando o módulo da razão for menor que 1.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão da PG:
O primeiro termo é
a_1 = x,
e a razão r é dada pela divisão de um termo pelo anterior, por exemplo
r = \frac{y}{x}.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo a_1 e razão r\neq1 vale
S_n = a_1 \,\frac{1 - r^n}{1 - r}.
Substituindo a_1 = x e r = \tfrac{y}{x}, obtemos
S_n = x \,\frac{1 - \bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{n}}{1 - \tfrac{y}{x}}.

Passo 4

Se quisermos a soma infinita e tivermos \bigl|\tfrac{y}{x}\bigr|<1, então
S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \;=\; \frac{x}{1 - \tfrac{y}{x}} \;=\; \frac{x^2}{\,x - y\,}.

Resposta

A soma dos n primeiros termos é
S_n = x \,\frac{1 - \bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{n}}{1 - \frac{y}{x}},
e, se \bigl|\tfrac{y}{x}\bigr|<1, a soma infinita é
S_\infty = \frac{x^2}{\,x - y\,}.

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