Obtenha o gráfico de 2x+3y-z+2=0. Dica: Determine a projeção deste plano nos planos coordenados xy, xz e yz.

Passo 1

Estamos em Geometria Analítica no espaço R^3. O enunciado pede o “gráfico” do plano
2x + 3y - z + 2 = 0
ou seja, sua representação em 3D. A dica sugere achar as projeções desse plano nos planos coordenados xy, xz e yz, de modo a traçar as retas correspondentes e, a partir delas, esboçar o plano.

Passo 2

Projeção no plano xy: impomos z=0. Substituindo em
2x + 3y - 0 + 2 = 0
obtemos a reta
2x + 3y + 2 = 0
no plano xy.

Passo 3

Projeção no plano xz: impomos y=0. Substituindo em
2x + 3cdot0 - z + 2 = 0
obtemos a reta
2x - z + 2 = 0
no plano xz.

Passo 4

Projeção no plano yz: impomos x=0. Substituindo em
2cdot0 + 3y - z + 2 = 0
obtemos a reta
3y - z + 2 = 0
no plano yz.

Passo 5

Podemos também extrair os interceptos com cada eixo:
– eixo x ( y=0,z=0): 2x+2=0implies x=-1, ponto (-1,0,0).
– eixo y ( x=0,z=0): 3y+2=0implies y=-tfrac23, ponto (0,-tfrac23,0).
– eixo z ( x=0,y=0): -z+2=0implies z=2, ponto (0,0,2).
Esses três pontos determinam o plano. Traçando as três retas-projeção e ligando esses pontos, esboçamos o gráfico do plano em 3D.

Resposta

O gráfico do plano 2x+3y-z+2=0 é a superfície plana que passa pelos pontos
(-1,0,0),(0,-tfrac23,0),(0,0,2),
cujos traços nos planos coordenados são as retas
no plano xy:;2x+3y+2=0, no plano xz:;2x-z+2=0, no plano yz:;3y-z+2=0

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