Sejam V um espaço com produto interno e S subespaço de V. Determine S^perp e dim(S^perp).
S=>=rf(t)=1+t, V=P2([-1,1], R).

Passo 1

O enunciado diz que V=P2([-1,1],R) é o espaço dos polinômios de grau <=2 com o produto interno padrão
lang<= p,qrang<= = integral-1^1p(t),q(t),dt
e que S=>=rf com f(t)=1+t. Precisamos achar
S^perp=pin Vmid lang<= p,frang<= =0
e sua dimensão.

Passo 2

Seja um polinômio arbitrário
p(t)=a + b,t + c,t^2
A condição de ortogonalidade é
lang<= p,frang<= = integral-1^1(1+t),(a + b,t + c,t^2),dt = 0
Vamos expandir o integrando.

Passo 3

Expandindo e separando termos temos
(1+t)(a + b,t + c,t^2) = a + b,t + c,t^2 + a,t + b,t^2 + c,t^3
e, ao integrar de -1 a 1, os termos de grau ímpar somam zero. Logo
integral-1^1(a + (b+a)t + (c+b)t^2 + c,t^3),dt = 2a + 23(c+b) = 0
Multiplicando por 3 obtemos
6a + 2(c+b) = 0 Longrightarrow 3a + (b+c) = 0

Passo 4

A condição 3a + b + c = 0 define um subespaço de dimensão 2 em V. Para encontrar uma base de S^perp, basta escolher dois vetores independentes que satisfaçam essa relação. Por exemplo:
  • Se b=3 e c=0, então 3a + 3 + 0=0 a=-1. Isso gera p1(t) = -1 + 3t = 3t - 1
  • Se b=0 e c=3, então 3a + 0 + 3=0 a=-1. Isso gera p2(t) = -1 + 3t^2 = 3t^2 - 1
Assim
S^perp = >=r,3t - 1,;3t^2 - 1

Resposta

S^perp = >=r,3t - 1,;3t^2 - 1 e dim(S^perp) = 2.

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