Sejam
um espaço com produto interno e
subespaço de
. Determine
e
.
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço dos polinômios de grau
com o produto interno padrão
e que
com
. Precisamos achar
e sua dimensão.
Passo 2
Seja um polinômio arbitrário
A condição de ortogonalidade é
Vamos expandir o integrando.
Passo 3
Expandindo e separando termos temos
e, ao integrar de
a
, os termos de grau ímpar somam zero. Logo
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
A condição
define um subespaço de dimensão
em
. Para encontrar uma base de
, basta escolher dois vetores independentes que satisfaçam essa relação. Por exemplo:
- Se
e , então dá . Isso gera - Se
e , então dá . Isso gera
Assim