Obtenha as integrais abaixo.
integral cos ^3 x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de integral cos^3 x cdot sin 2x , dx. Aqui, a gente vai usar técnicas de cálculo integral envolvendo funções trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar cos^3x em cos^2x cdot cos x. Assim, a integral fica:
integral cos^3x cdot sin 2x , dx = integral cos^2x cdot cos x cdot sin 2x , dx

Passo 3

Sabendo que cos^2x = 1 - sin^2x, substituímos na integral:
integral (1 - sin^2x) cdot cos x cdot sin 2x , dx

Passo 4

Vamos usar substituição. Seja u = sin x, então a derivada de u em relação a x é du = cos x , dx. Isso simplifica nossa integral.

Passo 5

Também sabemos que sin 2x = 2 sin x cos x = 2u cos x. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) cdot 2u cdot du = 2 integral (u - u^3) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo:
2 ( u^22 - u^44 ) + C = u^2 - u^42 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = sin x, a integral resulta em:
sin^2x - sin^4x2 + C

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