Obtenha as integrais abaixo.
integral1^2(x+1)^2 x dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral1^2(x+1)^2 x , dx. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e entender como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Basicamente, é uma forma de calcular a área sob a curva de uma função entre dois limites. A fórmula geral para a integral definida de uma função f(x) entre a e b é:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a primitiva de f(x), ou seja, a função cuja derivada é f(x).

Passo 3

No nosso caso, a função que vamos integrar é f(x) = x. Vamos encontrar a primitiva dessa função. Sabemos que:
integral x , dx = x^22 + C
Como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar a constante C.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de integração. Nosso limite inferior é 1 e o limite superior é 2(x+1)^2. Vamos substituir esses valores na primitiva que encontramos:
integral1^2(x+1)^2 x , dx = [ x^22 ]1^2(x+1)^2 = [2(x+1)^2]^22 - 1^22

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculemos [2(x+1)^2]^2:
[2(x+1)^2]^2 = 4(x+1)^4
Agora, substituímos de volta na expressão:
4(x+1)^42 - 12 = 2(x+1)^4 - 12

Resposta

A integral integral1^2(x+1)^2 x , dx é igual a:
2(x+1)^4 - 12

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