A terceira lei de Kepler estabelece que o quadrado do periodo T necessirio para um planeta completar uma órbita em torno do Sol (i.e. a duraçào de um ano planetánio) é diretamente proporcional ao cubo da distància média d do planeta ao Sol. Para o planeta Terra. assuma d=93 times 10^6 milhas e T=365 das. Calcule a distìncia média de Vënus ao Sol, uma vez que o período de Věnus é de aproximadamente 223 dias da Terra.

Passo 1

O enunciado pede a distância média de Vênus ao Sol usando a terceira lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital T é proporcional ao cubo da distância média d. Temos como dado para a Terra ;drm E=93times10^6 milhas e ;Trm E=365 dias, e para Vênus ;Trm V=223 dias.

Passo 2

Escrevemos a lei de Kepler em forma de proporção:
T^2=k,d^3,
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Usando os dados da Terra determinamos k:
k = Trm E^2drm E^3

Passo 4

Para Vênus, temos
Trm V^2 = k,drm V^3 Longrightarrow drm V^3 = Trm V^2k Longrightarrow drm V = (Trm V^2k)^!1/3
Substituindo k e rearranjando,
drm V = drm E,gl(Trm VTrm Egr)^!2/3

Passo 5

Agora basta calcular numericamente:
Trm VTrm E = 223365approx0,611,
gl(223365gr)^!2/3approx0,720,
drm Vapprox0,720times93times10^6 milhas approx6,7times10^7 milhas

Resposta

A distância média de Vênus ao Sol é aproximadamente
drm Vapprox6,7times10^7 milhas

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