Seja
uma matriz triangular superior
com todos os elementos da diagonal iguais a zero. Mostre que
. (Sugestão: considere o operador
cuja matriz na base canônica é igual a
e determine a matriz de
.)
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
, triangular superior e com todos os elementos da diagonal iguais a zero. Queremos mostrar que
. O conteúdo aqui é o conceito de operador linear nilpotente: associamos a
um operador
na base canônica e estudamos
.
Passo 2
Definimos o operador
cujo matriz na base canônica
é exatamente
. Assim, para cada vetor da base temos
Como
é triangular superior com diagonal zero, todos os coeficientes
valem zero e só podem existir entradas não nulas em colunas acima da diagonal. Logo
Passo 3
A partir dessa observação, notamos que ao aplicar
de novo em
, cada termo
será mapeado para vetores de índice ainda maior. Mais formalmente, se
então
Passo 4
Fazendo isso
vezes, obtemos por indução:
Para ver a base, em
já temos o Passo 2; e o passo indutivo segue do argumento acima.
Passo 5
Quando
, então para todo
temos
, de modo que não há nenhum vetor da base nesse índice. Logo
Isto mostra que
é o operador zero.
Passo 6
Como a matriz de
na base canônica é a matriz de
, concluímos que