Seja A uma matriz triangular superior n times n com todos os elementos da diagonal iguais a zero. Mostre que A^n=0. (Sugestão: considere o operador T: R^n R^n cuja matriz na base canônica é igual a A e determine a matriz de T^n.)

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz ntimes n, triangular superior e com todos os elementos da diagonal iguais a zero. Queremos mostrar que ,A^n=0. O conteúdo aqui é o conceito de operador linear nilpotente: associamos a A um operador TcolonR^ntoR^n na base canônica e estudamos T^n.

Passo 2

Definimos o operador T cujo matriz na base canônica e1,e2,dots,en é exatamente A. Assim, para cada vetor da base temos
T(ei)=sumj=1^n Aji,ej
Como A é triangular superior com diagonal zero, todos os coeficientes Aii valem zero e só podem existir entradas não nulas em colunas acima da diagonal. Logo
T(ei)inspanei+1,ei+2,dots,en

Passo 3

A partir dessa observação, notamos que ao aplicar T de novo em T(ei), cada termo ei+1,dots,en será mapeado para vetores de índice ainda maior. Mais formalmente, se
T(ei)inspanei+1,dots,en,
então
T^2(ei)=Tl(T(ei)r)inspanei+2,dots,en

Passo 4

Fazendo isso k vezes, obtemos por indução:
T^k(ei)inspanei+k,ei+k+1,dots,en
Para ver a base, em k=1 já temos o Passo 2; e o passo indutivo segue do argumento acima.

Passo 5

Quando k=n, então para todo i temos i+k>n, de modo que não há nenhum vetor da base nesse índice. Logo
T^n(ei)=0para todo i=1,2,dots,n
Isto mostra que T^n é o operador zero.

Passo 6

Como a matriz de T^n na base canônica é a matriz de A^n, concluímos que
A^n=0

Resposta

A^n=0.

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