Obtenha a lei dos períodos de Kepler: para dois planetas em órbita circular em torno de uma estrela (a massa dos planetas é muito menor do que a da estrela), seus períodos e raio de órbita são T1, R1 e T2, R2, respectivamente, eles satisfazem a relação: T1^2 / R1^3=T2^2 / R2 ^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei dos Períodos de Kepler. A questão nos pede para mostrar que, para dois planetas que orbitam em trajetórias circulares ao redor de uma estrela, os períodos orbitais ( T1 e T2) e os raios das órbitas ( R1 e R2) satisfazem a relação T1^2 / R1^3 = T2^2 / R2^3. Para isso, vamos precisar entender um pouco de leis de movimento planetário e segunda lei de Newton aplicadas a movimentos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força que mantém um planeta em órbita é a força gravitacional da estrela. A força gravitacional ( Fg) é dada pela fórmula:
Fg = G M mR^2
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa da estrela,
  • m é a massa do planeta,
  • R é o raio da órbita.

Passo 3

Por outro lado, para um movimento circular, a força centrípeta ( Fc) necessária para manter o planeta na órbita é:
Fc = m v^2R
onde:
  • v é a velocidade orbital do planeta.

Passo 4

Como a força gravitacional fornece a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
G M mR^2 = m v^2R
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
G MR^2 = v^2R

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por R, temos:
G MR = v^2
Daí, podemos isolar a velocidade orbital:
v = raizG MR

Passo 6

Sabemos que o período orbital ( T) está relacionado à velocidade pela circunferência da órbita:
v = 2 pi RT
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
2 pi RT = raizG MR

Passo 7

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
( 2 pi RT )^2 = G MR
Isso resulta em:
4 pi^2 R^2T^2 = G MR

Passo 8

Agora, rearranjamos a equação para relacionar T^2 e R^3:
T^2 = 4 pi^2G M R^3

Passo 9

Perceba que para dois planetas diferentes, as constantes envolvidas ( G e M) são as mesmas, já que estão orbitando a mesma estrela. Então, para os planetas 1 e 2, temos:
T1^2R1^3 = 4 pi^2G M = T2^2R2^3

Resposta

Assim, demonstramos que T1^2 / R1^3 = T2^2 / R2^3, confirmando a Lei dos Períodos de Kepler.

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