Obtenha a lei dos períodos de Kepler: para dois planetas em órbita circular em torno de uma estrela (a massa dos planetas é muito menor do que a da estrela), seus períodos e raio de órbita são
e
, respectivamente, eles satisfazem a relação:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Lei dos Períodos de Kepler. A questão nos pede para mostrar que, para dois planetas que orbitam em trajetórias circulares ao redor de uma estrela, os períodos orbitais (
e
) e os raios das órbitas (
e
) satisfazem a relação
. Para isso, vamos precisar entender um pouco de leis de movimento planetário e segunda lei de Newton aplicadas a movimentos circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força que mantém um planeta em órbita é a força gravitacional da estrela. A força gravitacional (
) é dada pela fórmula:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da estrela, -
é a massa do planeta, -
é o raio da órbita.
Passo 3
Por outro lado, para um movimento circular, a força centrípeta (
) necessária para manter o planeta na órbita é:
onde:
-
é a velocidade orbital do planeta.
Passo 4
Como a força gravitacional fornece a força centrípeta, podemos igualar as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Daí, podemos isolar a velocidade orbital:
Passo 6
Sabemos que o período orbital (
) está relacionado à velocidade pela circunferência da órbita:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
Passo 7
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso resulta em:
Passo 8
Agora, rearranjamos a equação para relacionar
e
:
Passo 9
Perceba que para dois planetas diferentes, as constantes envolvidas (
e
) são as mesmas, já que estão orbitando a mesma estrela. Então, para os planetas 1 e 2, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que
, confirmando a Lei dos Períodos de Kepler.