Questão ( 2,5 pontos): Uma massa de 10.g é presa a uma mola com constante elástica K e oscila em MHS num plano horizontal. A. massa repete seu movimento a cada 2,0 s. Em t=0 a posição da massa é x=0 e sua velocidade é -40 cm / s. Determine:
a) a frequència angular,
b) a constate elástica da moia,
c) a amplitude do movimento, emax amax
d) o ângulo de fase,
e) a energia mecânica em t=0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa de 10 gramas presa numa mola que oscila em Movimento Harmônico Simples (MHS) num plano horizontal. O período dessa oscilação é de 2,0 segundos. No instante inicial, quando o tempo é zero, a massa está na posição de equilíbrio (x = 0) e com uma velocidade de -40 cm/s. A gente vai precisar usar conceitos de MHS, como frequência angular, constante elástica da mola, amplitude, fase e energia mecânica para resolver as partes a) até e) dessa questão.

Passo 2

a) Determinar a frequência angular (ω).
A frequência angular é uma medida de quão rápido a massa oscila e está relacionada ao período T da oscilação pela fórmula:
omega = 2piT
Aqui, o período T é 2,0 segundos. Vamos calcular:
omega = 2pi2,0, s = pi, rad/s

Passo 3

b) Determinar a constante elástica da mola (K).
A constante elástica da mola está relacionada à massa (m) e à frequência angular (ω) pela fórmula:
omega = raizKm
Podemos rearranjar para encontrar K:
K = m omega^2
Antes disso, vamos converter a massa para quilogramas: 10 g = 0,010 kg.
Agora, substituindo os valores:
K = 0,010, kg times (pi, rad/s)^2 = 0,010 times pi^2 approx 0,010 times 9,87 approx 0,0987, N/m

Passo 4

c) Determinar a amplitude do movimento (A) e a aceleração máxima (a_max).
A amplitude A pode ser encontrada usando a condição inicial de posição e velocidade. No instante t = 0, temos:
x(0) = 0 = A cos(phi)
v(0) = -40, cm/s = -0,4, m/s = -A omega sin(phi)
Da primeira equação, sabemos que cos(phi) = 0, o que significa que phi = pi2 rad.
Substituindo phi = pi2 na segunda equação:
-0,4 = -A omega sin(pi2) Rightarrow -0,4 = -A omega
Então:
A = 0,4omega = 0,4pi approx 0,127, m = 12,7, cm
Agora, a aceleração máxima amax é dada por:
amax = omega^2 A = pi^2 times 0,127 approx 9,87 times 0,127 approx 1,25, m/s^2

Passo 5

d) Determinar o ângulo de fase (φ).
Já vimos anteriormente que cos(phi) = 0, o que nos dá phi = pi2 rad.

Passo 6

e) Determinar a energia mecânica em t=0, s.
A energia mecânica em MHS é composta pela energia potencial e cinética. Ela pode ser calculada usando:
E = 12 k A^2
Usamos a constante elástica K que calculamos e a amplitude A:
E = 12 times 0,0987, N/m times (0,127, m)^2 approx 12 times 0,0987 times 0,0161 approx 0,000796, J

Resposta

a) omega = pi, rad/s
b) K approx 0,0987, N/m
c) A approx 12,7, cm e amax approx 1,25, m/s^2
d) phi = pi2 rad
e) E approx 0,000796, J

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