Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A derivada
significa . - O lado direito depende de
e através da expressão . - Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Observar a forma do lado direito e simplificá-lo antes de resolver. Na expressão do denominador pode fatorar
:
Portanto a equação fica
Esta é uma equação em que os termos com
e os termos com
podem ser separados — isto é, é uma equação diferencial separável. Aqui a ideia é colocar todos os
(e
) de um lado e todos os
(e
) do outro.
Passo 3
Separar as variáveis explicitamente. Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Explicando a técnica: em uma equação separável escrita como
, faz-se
e integra-se ambos os lados. Aqui
e
, então a separação acima está correta.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Calcular as integrais
- A integral do lado esquerdo é direta:
- Para a integral do lado direito, reconhecer que a derivada de
é . Assim podemos fazer substituição mental ou observar que
e então
onde
é a constante de integração. (Aqui
é o logaritmo natural.)
Igualando as primitivas:
Passo 5
Multiplicar por
para simplificar a expressão e recolocar a constante de integração numa forma mais usual:
onde
é uma constante arbitrária real. Agora isolar
:
Explicação sobre o sinal: ao resolver
obtém-se duas famílias de soluções, a positiva e a negativa, desde que o radicando seja não negativo.
Passo 6
Comentários finais importantes para a prova (dicas e cuidados):
- A solução geral pode ser escrita implicitamente como
ou explicitamente como acima. Em provas normalmente ambas são aceitas; escolha a que ficar mais limpa. - Domínio: é necessário que
para que a solução real exista. Dependendo de isso limita o domínio em . - Verifique se existem soluções singulares constantes: aqui
não é solução válida porque substituindo em aparece divisão por zero. Portanto nenhuma solução constante aparece além das obtidas pela integração. - Se for dada uma condição inicial
, basta substituir em para determinar .