Questão 1: (1,2 pontos cada) Resolva as equações diferenciais a seguir:
y^{\prime}=\frac{x}{y+x^{2} y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{x}{y+x^{2}y}
e pede resolver essa equação (ou seja, encontrar a solução geral y(x)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A derivada y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito depende de x e y através da expressão \dfrac{x}{y+x^{2}y}.
  • Não há condição inicial fornecida, então devemos obter a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Observar a forma do lado direito e simplificá-lo antes de resolver. Na expressão do denominador pode fatorar y:
y+x^{2}y = y(1+x^{2}).
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y(1+x^{2})}.
Esta é uma equação em que os termos com y e os termos com x podem ser separados — isto é, é uma equação diferencial separável. Aqui a ideia é colocar todos os y (e dy) de um lado e todos os x (e dx) do outro.

Passo 3

Separar as variáveis explicitamente. Multiplicando ambos os lados por y e por dx obtemos
y\,dy=\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Explicando a técnica: em uma equação separável escrita como \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y), faz-se \dfrac{1}{h(y)}dy = g(x)dx e integra-se ambos os lados. Aqui h(y)=1/y e g(x)=x/(1+x^{2}), então a separação acima está correta.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Calcular as integrais
\int y\,dy \quad\text{e}\quad \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
  • A integral do lado esquerdo é direta: \displaystyle \int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2}.
  • Para a integral do lado direito, reconhecer que a derivada de 1+x^{2} é 2x. Assim podemos fazer substituição mental ou observar que
\frac{x}{1+x^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}},
e então
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C,
onde C é a constante de integração. (Aqui \ln é o logaritmo natural.)
Igualando as primitivas:
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 5

Multiplicar por 2 para simplificar a expressão e recolocar a constante de integração numa forma mais usual:
y^{2} = \ln(1+x^{2}) + C_{1},
onde C_{1}=2C é uma constante arbitrária real. Agora isolar y:
y(x)=\pm\sqrt{\ln(1+x^{2}) + C_{1}}.
Explicação sobre o sinal: ao resolver y^{2}=F(x) obtém-se duas famílias de soluções, a positiva e a negativa, desde que o radicando seja não negativo.

Passo 6

Comentários finais importantes para a prova (dicas e cuidados):
  • A solução geral pode ser escrita implicitamente como \;y^{2}-\ln(1+x^{2})=C_{1}\; ou explicitamente como acima. Em provas normalmente ambas são aceitas; escolha a que ficar mais limpa.
  • Domínio: é necessário que \ln(1+x^{2})+C_{1}\ge 0 para que a solução real y(x) exista. Dependendo de C_{1} isso limita o domínio em x.
  • Verifique se existem soluções singulares constantes: aqui y\equiv 0 não é solução válida porque substituindo em \dfrac{x}{y(1+x^{2})} aparece divisão por zero. Portanto nenhuma solução constante aparece além das obtidas pela integração.
  • Se for dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}, basta substituir em y^{2}=\ln(1+x^{2})+C_{1} para determinar C_{1}.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\ln(1+x^{2})+C}

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