A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6 , o produto do primeiro deles pelo quarto é -54 . Determine esses termos.

Passo 1

O enunciado nos dá as informações seguintes e pede determinar os quatro termos:
  • A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6.
  • O produto do primeiro termo pelo quarto termo é -54.
  • Pergunta: quais são esses quatro termos consecutivos?

Passo 2

Vamos colocar notação clara (isso facilita muito na prova). Sejam \,a o primeiro termo e \,d a razão da progressão aritmética. Então os quatro termos consecutivos são
a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d.
Explicação rápida: numa progressão aritmética cada termo é obtido somando a mesma constante \,d ao termo anterior; por isso aparecem os incrementos d,2d,3d.

Passo 3

Traduzimos as informações do enunciado em equações com \,a e \,d.
A soma dos quatro termos vale -6, então
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)= -6.
Somando os termos do lado esquerdo obtemos uma equação linear entre a e d. Vamos simplificar isso no próximo passo.

Passo 4

Simplificando a soma:
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=4a+6d.
Como essa soma é -6, temos
4a+6d=-6.
Podemos simplificar dividindo por 2:
2a+3d=-3. \tag{1}

Passo 5

A outra informação é o produto do primeiro pelo quarto termo:
a\cdot (a+3d) = -54. \tag{2}
Essa é uma equação quadrática mista em a e d. A estratégia natural é usar (1) para eliminar d e obter uma equação apenas em a.

Passo 6

Isolamos 3d em (1):
3d = -3 - 2a.
Agora note que na equação do produto aparece exatamente a+3d. Substituindo 3d ali:
a+3d = a + (-3 - 2a) = -a - 3.
Logo a equação (2) vira
a\cdot (a+3d) = a\cdot(-a-3) = -a^{2}-3a = -54.

Passo 7

Reescrevendo a igualdade para obter uma quadrática padrão:
-a^{2}-3a = -54 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}+3a-54=0.
Agora resolvemos esta equação quadrática. Para isso calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = 3^{2}-4\cdot 1\cdot(-54)=9+216=225.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{225}=15. As raízes são
a = \frac{-3\pm 15}{2}.
Portanto
a = \frac{-3+15}{2}=\frac{12}{2}=6 \quad\text{ou}\quad a = \frac{-3-15}{2}=\frac{-18}{2}=-9.

Passo 8

Para cada valor de a encontramos a razão d usando (1): 2a+3d=-3.
Caso a=6:
2\cdot 6 + 3d = -3 \quad\Rightarrow\quad 12+3d=-3 \quad\Rightarrow\quad 3d=-15 \quad\Rightarrow\quad d=-5.
Os quatro termos são
6,\; 6+(-5)=1,\; 6+2(-5)=-4,\; 6+3(-5)=-9.
Caso a=-9:
2\cdot(-9)+3d=-3 \quad\Rightarrow\quad -18+3d=-3 \quad\Rightarrow\quad 3d=15 \quad\Rightarrow\quad d=5.
Os quatro termos são
-9,\; -9+5=-4,\; -9+2\cdot5=1,\; -9+3\cdot5=6.

Passo 9

Verificação rápida (sempre confirme na prova): para a sequência 6,1,-4,-9 a soma é
6+1+(-4)+(-9)= -6
e o produto do 1.º pelo 4.º é
6\cdot(-9)=-54.
Para a sequência -9,-4,1,6 as mesmas verificações também valem (é a mesma sequência em ordem invertida). Assim as duas soluções são válidas como quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Resposta

6,\;1,\;-4,\;-9
-9,\;-4,\;1,\;6

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