A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6 , o produto do primeiro deles pelo quarto é -54 . Determine esses termos.
Passo 1
O enunciado nos dá as informações seguintes e pede determinar os quatro termos:
A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6.
O produto do primeiro termo pelo quarto termo é -54.
Pergunta: quais são esses quatro termos consecutivos?
Passo 2
Vamos colocar notação clara (isso facilita muito na prova). Sejam \,a o primeiro termo e \,d a razão da progressão aritmética. Então os quatro termos consecutivos são
a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d.
Explicação rápida: numa progressão aritmética cada termo é obtido somando a mesma constante \,d ao termo anterior; por isso aparecem os incrementos d,2d,3d.
Passo 3
Traduzimos as informações do enunciado em equações com \,a e \,d.
A soma dos quatro termos vale -6, então
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)= -6.
Somando os termos do lado esquerdo obtemos uma equação linear entre a e d. Vamos simplificar isso no próximo passo.
Passo 4
Simplificando a soma:
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=4a+6d.
Como essa soma é -6, temos
4a+6d=-6.
Podemos simplificar dividindo por 2:
2a+3d=-3. \tag{1}
Passo 5
A outra informação é o produto do primeiro pelo quarto termo:
a\cdot (a+3d) = -54. \tag{2}
Essa é uma equação quadrática mista em a e d. A estratégia natural é usar (1) para eliminar d e obter uma equação apenas em a.
Passo 6
Isolamos 3d em (1):
3d = -3 - 2a.
Agora note que na equação do produto aparece exatamente a+3d. Substituindo 3d ali:
a+3d = a + (-3 - 2a) = -a - 3.
Logo a equação (2) vira
a\cdot (a+3d) = a\cdot(-a-3) = -a^{2}-3a = -54.
Passo 7
Reescrevendo a igualdade para obter uma quadrática padrão:
Verificação rápida (sempre confirme na prova): para a sequência 6,1,-4,-9 a soma é
6+1+(-4)+(-9)= -6
e o produto do 1.º pelo 4.º é
6\cdot(-9)=-54.
Para a sequência -9,-4,1,6 as mesmas verificações também valem (é a mesma sequência em ordem invertida). Assim as duas soluções são válidas como quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética.