Obtenha uma parametrização da curva alpha de interseção das superficies y=x^2-z^2 e x^2+z^2=4.

Passo 1

Temos as superfícies y = x^2 - z^2 e x^2 + z^2 = 4. Esse problema é de parametrização de curvas em R^3. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar o cilindro x^2 + z^2 = 4 e depois obter y.

Passo 2

Como x^2 + z^2 = 4 define um cilindro de raio 2, podemos introduzir o parâmetro t e escrever
x = 2cos t, z = 2sin t,
com tin[0,2pi).

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação y = x^2 - z^2, temos
y = (2cos t)^2 - (2sin t)^2 = 4cos^2 t - 4sin^2 t = 4cos 2t

Passo 4

Reunindo todos os componentes, obtemos a parametrização da curva de interseção:
alpha(t) = (2cos t,,4cos 2t,,2sin t), tin[0,2pi)

Resposta

alpha(t) = (2cos t,,4cos 2t,,2sin t), tin[0,2pi)

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