Obtenha uma parametrização para as curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar uma parametrização para essa curva. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda como representar curvas no plano usando parâmetros. Pra resolver, vamos precisar entender o que é parametrização e como aplicá-la em equações polinomiais como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é parametrização. Basicamente, é uma maneira de expressar as coordenadas
e
em função de um terceiro parâmetro, geralmente chamado de
. Isso simplifica a representação da curva e facilita o estudo de suas propriedades.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa equação
. Essa é uma equação do terceiro grau e, de fato, ela representa uma curva conhecida chamada Folha de Descartes. Para parametrizar, vamos assumir que
é nosso parâmetro e tentar expressar
e
em termos de
.
Passo 4
Uma estratégia comum é expressar
e
como frações que envolvem
. Vamos supor que:
E então, vamos usar essa expressão para encontrar
. Substituímos
na equação original:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, podemos isolar
:
Para simplificar ainda mais, assumimos uma relação semelhante para
, ou seja:
Passo 6
Agora, temos nossas parametrizações:
Essas expressões paramétricas satisfazem a equação original
para qualquer valor de
, exceto quando
, que causaria uma divisão por zero.
Resposta
A parametrização da curva
é dada por: