Obtenha uma parametrização para as curvas.
x^3+y^3=3 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x^3 + y^3 = 3xy e precisa encontrar uma parametrização para essa curva. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda como representar curvas no plano usando parâmetros. Pra resolver, vamos precisar entender o que é parametrização e como aplicá-la em equações polinomiais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é parametrização. Basicamente, é uma maneira de expressar as coordenadas x e y em função de um terceiro parâmetro, geralmente chamado de t . Isso simplifica a representação da curva e facilita o estudo de suas propriedades.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa equação x^3 + y^3 = 3xy . Essa é uma equação do terceiro grau e, de fato, ela representa uma curva conhecida chamada Folha de Descartes. Para parametrizar, vamos assumir que t é nosso parâmetro e tentar expressar x e y em termos de t .

Passo 4

Uma estratégia comum é expressar x e y como frações que envolvem t . Vamos supor que:
x = 3t1 + t^3
E então, vamos usar essa expressão para encontrar y . Substituímos x na equação original:
( 3t1 + t^3 )^3 + y^3 = 3 ( 3t1 + t^3 ) y

Passo 5

Simplificando a expressão acima, podemos isolar y^3 :
y^3 = 3 ( 3t1 + t^3 ) y - ( 27t^3(1 + t^3)^3 )
Para simplificar ainda mais, assumimos uma relação semelhante para y , ou seja:
y = 3t^21 + t^3

Passo 6

Agora, temos nossas parametrizações:
x = 3t1 + t^3
y = 3t^21 + t^3
Essas expressões paramétricas satisfazem a equação original x^3 + y^3 = 3xy para qualquer valor de t , exceto quando 1 + t^3 = 0 , que causaria uma divisão por zero.

Resposta

A parametrização da curva x^3 + y^3 = 3xy é dada por:
x = 3t1 + t^3
y = 3t^21 + t^3

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