Obtenha uma parametrização para as curvas.
Interseção do cilindro C=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=1 com o plano x+2 y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para as curvas que são a interseção entre o cilindro definido por x^2 + y^2 = 1 e o plano x + 2y + z = 1 . Isso envolve geometria analítica, onde vamos combinar equações de superfícies para achar as curvas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. O cilindro x^2 + y^2 = 1 é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo z. O plano x + 2y + z = 1 é uma superfície plana no espaço tridimensional.

Passo 3

Para achar a interseção dessas duas superfícies, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações. Ou seja, precisamos encontrar os pontos (x, y, z) que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos começar expressando z em função de x e y a partir da equação do plano:
z = 1 - x - 2y
Agora, substituímos essa expressão de z na equação do cilindro.

Passo 5

Mas, como o cilindro é definido por x^2 + y^2 = 1 , podemos usar parametrizações trigonométricas para x e y . Vamos definir:
x = cos(t) y = sin(t)
onde t é o parâmetro que varia de 0 a 2pi .

Passo 6

Com x e y parametrizados, substituímos na expressão que encontramos para z :
z = 1 - cos(t) - 2sin(t)
Assim, temos todas as três coordenadas em função de t .

Passo 7

Então, a parametrização das curvas de interseção é dada por:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = 1 - cos(t) - 2sin(t)
onde t in [0, 2pi) .

Resposta

A parametrização das curvas de interseção é:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = 1 - cos(t) - 2sin(t)
com t variando de 0 a 2pi .

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