Obtenha uma parametrização para as curvas.
Interseção do cilindro com o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma parametrização para as curvas que são a interseção entre o cilindro definido por e o plano . Isso envolve geometria analítica, onde vamos combinar equações de superfícies para achar as curvas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. O cilindro é um cilindro circular que se estende ao longo do eixo z. O plano é uma superfície plana no espaço tridimensional.
Passo 3
Para achar a interseção dessas duas superfícies, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações. Ou seja, precisamos encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos começar expressando em função de e a partir da equação do plano:
Agora, substituímos essa expressão de na equação do cilindro.
Passo 5
Mas, como o cilindro é definido por , podemos usar parametrizações trigonométricas para e . Vamos definir:
onde é o parâmetro que varia de 0 a .
Passo 6
Com e parametrizados, substituímos na expressão que encontramos para :
Assim, temos todas as três coordenadas em função de .
Passo 7
Então, a parametrização das curvas de interseção é dada por: