Obtenha o que se pede.
Mostre que integral0^1 xe^2 x d x=14-34 e^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1xe^2x,dx
que podemos reescrever como
integral0^1x,e^-2x,dx
O método mais apropriado aqui é a integração por partes, pois temos produto de x por uma exponencial.

Passo 2

Na fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
fazemos a escolha
u = x, dv = e^-2x,dx
Dessa forma
du = dx, v = integral e^-2x,dx = -tfrac12,e^-2x

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral x,e^-2x,dx = u,v - integral v,du = xl(-tfrac12 e^-2xr) - integral l(-tfrac12 e^-2xr),dx = -tfracx2e^-2x + tfrac12integral e^-2x,dx
Como integral e^-2x,dx=-tfrac12e^-2x, obtemos um antiderivado
F(x) = -x2e^-2x - 14e^-2x = -l(x2+14r)e^-2x

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1:
F(1) = -l(tfrac12+tfrac14r)e^-2 = -tfrac34e^-2, F(0) = -l(0+tfrac14r)e^0 = -tfrac14
Portanto
integral0^1x,e^-2x,dx = F(1)-F(0) = l(-tfrac34e^-2r)-l(-tfrac14r) = 14-34e^2

Resposta

14-34e^2

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