Use o método das frações parciais para resolver as integrais a seguir
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{2}-7 x-12}{x(x+2)(x-3)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^24x^2-7x-12x(x+2)(x-3),dx
usando o método de frações parciais. Vamos decompor o integrando em termos de 1/x, 1/(x+2) e 1/(x-3) para depois integrar cada termo separadamente, resultando em funções logarítmicas.

Passo 2

Procuramos constantes A, B e C tais que
4x^2-7x-12x(x+2)(x-3) =Ax+Bx+2+Cx-3
Multiplicando ambos os lados por x(x+2)(x-3), obtemos a identidade
4x^2-7x-12 =A(x+2)(x-3)+B,x(x-3)+C,x(x+2)

Passo 3

Para encontrar A,B,C basta escolher valores convenientes de x:
- Em x=0:
4cdot0^2-7cdot0-12=-12 e o lado direito vira Acdot2cdot(-3)=-6A.
Logo -6A=-12implies A=2.
- Em x=-2:
4cdot(-2)^2-7(-2)-12=16+14-12=18 e o lado direito é Bcdot(-2)cdot(-5)=10B.
Logo 10B=18implies B=tfrac95.
- Em x=3:
4cdot3^2-7cdot3-12=36-21-12=3 e o lado direito é Ccdot3cdot5=15C.
Logo 15C=3implies C=tfrac15.
Portanto
4x^2-7x-12x(x+2)(x-3) = 2x + 9/5,x+2, + 1/5,x-3,

Passo 4

Agora escrevemos a integral como soma de três integrais simples:
integral1^24x^2-7x-12x(x+2)(x-3),dx =2integral1^2dxx +95integral1^2dxx+2 +15integral1^2dxx-3
Sabemos que integral dx/x=ln|x| e integral dx/(x+a)=ln|x+a|. Assim, uma primitiva é
F(x) =2lnl|xr| +95lnl|x+2r| +15lnl|x-3r|

Passo 5

Avaliaremos F(2)-F(1).
Em x=2:
F(2) =2ln2 +95ln4 +15ln|-1| =2ln2+95cdot2ln2+0 =285ln2
Em x=1:
F(1) =2ln1 +95ln3 +15ln|-2| =0+95ln3+15ln2
Logo
integral1^24x^2-7x-12x(x+2)(x-3),dx =F(2)-F(1) =285ln2-l(95ln3+15ln2r) =275ln2-95ln3 =95l(3ln2-ln3r) =95ln!l(tfrac83r)

Resposta

95ln!l(83r)

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